2.6用尺规作三角形 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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2.6用尺规作三角形湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.根据下列条件，能画出唯一的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，
2.如图，锐角中，，若想找一点，使得与互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以为圆心，长为半径画弧交于点，则即为所求；
乙：分别以，为圆心，，长为半径画弧交于点，则即为所求；
丙：作的垂直平分线和的平分线，两线交于点，则即为所求．
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是( )
A. 三人皆正确 B. 甲、丙正确，乙错误
C. 甲正确，乙、丙错误 D. 甲错误，乙、丙正确
3.如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B. C. D.
4.下列作图语句正确的是( )
A. 连接，并且平分 B. 延长射线
C. 作的平分线 D. 过点作
5.下列尺规作图的语句正确的是( )
A. 延长射线到
B. 延长线段至，使
C. 以点为圆心，线段的长度为半径画弧
D. 作直线
6.作一个角等于已知角，以为圆心作圆弧分别与，交于点，；以为圆心为半径作圆弧与射线交于点；以为圆心为半径作圆弧与中所作圆弧交于点；作射线，则为所作的角；上述尺规作图中用到了下面判定三角形全等．
A. “” B. “” C. “” D. “”
7.下列作图语句中，正确的是( )
A. 作射线，使 B. 作
C. 延长直线到点，使 D. 以点为圆心作弧
8.下列说法：相等的角是对顶角；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；作图语句：连接，并且平分其中正确的有个．
A. B. C. D.
9.如图，在中，进行如下操作：
分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，；
作直线，交线段于点；
连接则下列结论正确的是( )
A. 平分 B.
C. D. ≌
10.现已知线段，，，求作，使得，，小惠和小雷的作法分别如下：
小惠：以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点，连接，即为所求．
小雷：以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点；以点为圆心、线段的长为半径画弧，交射线于点，连接，即为所求．
则下列说法中正确的是( )
A. 小惠的作法正确，小雷的作法错误 B. 小雷的作法正确，小惠的作法错误
C. 两人的作法都正确 D. 两人的作法都错误
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.在每个小正方形边长为的网格中，有等腰三角形，点，，都在格点上，点为线段上的动点．
的长度等于______．
Ⅱ当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的______不要求证明
12.如图，已知线段，，，求作，使，，，下面作法中：分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点作线段连接，，为所求作的三角形正确顺序应为 填序号．
13.如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是_____．
14.已知线段，和，求作，使，，边上的中线下面作法的合理顺序为 填序号：延长到，使；连接；作，使，，．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，射线交于点，．
作图：只用圆规在射线上作出点，使；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接若，，求的长．
16.本小题分
已知等腰三角形的底边长为，顶角的平分线长为，求作这个等腰三角形．
17.本小题分
已知一个三角形两条边的长分别为和，一个内角为．
请你在图中作出一个满足题设条件的三角形；
你是否还能作出既满足题设条件，又与中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你在图中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；
如果将题设条件改为“三角形两条边的长分别为和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个．请在所作图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹
18.本小题分
如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接．
依题意补全图形
设，求的大小用含的代数式表示
用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
19.本小题分
如图，已知直线及其两侧两点、．
在图中直线上求作一点，使；不写作法，保留作图痕迹
在图中直线画一点，使平分不写画法，保留画图痕迹
20.本小题分
尺规作图保留作图痕迹．
已知：如图，、是上任意两点，求作：的直径，使；
已知：如图，、是内任意两点，求作：的直径，使．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解答】
解：当，，时，根据“”可判断的唯一性．；
当，，时，，不能构成三角形；
当，，时，根据可知三角形不唯一
当，时，可作出无数个三角形，不唯一
故选A．
2.【答案】
【解析】解：甲：如图，，
，
，
甲正确；
乙：如图，延长交于，连接，，
，
，
，
，
，
即，
乙不正确，
丙：如图，过作于，作于，
平分，
，
是的垂直平分线，
，
≌，
，
，
，
，
，
丙正确；
故选：．
甲：根据作图可得，利用等边对等角得：，由平角的定义可知：，根据等量代换可作判断；
乙：根据圆内接四边形对角互补可得：，再由圆周角定理和等边对等角可计算，可作判断；
丙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明≌，可得，作判断即可．
本题考查了角平分线的性质、圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质及基本作图，正确的理解题意是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B.如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
C.如图所示：此时，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D.如图所示：此时，故能得出，故此选项正确；
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查作图语言的叙述．根据基本作图的方法结合相关定义和公理，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】
解：连接，不能同时平分，此作图语句错误；
B.只能反向延长射线，此作图语句错误；
C.作的平分线，此作图语句正确；
D.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，过点作，此作图语句错误．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图，直线、射线、线段的概念，关键是熟练掌握直线、射线、线段的概念，尺规作图的语句．
根据直线、射线、线段的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．
【解答】
解：根据射线是从向无限延伸的，故延长射线到是错误的；
B.延长线段至，则，故使是错误；
C.根据圆心和半径的长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，线段的长度为半径画弧是正确的；
D.根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，．
由作图可知：，，
≌，
故选：．
由作图可知：，，根据即可判断两个三角形全等．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】分析
本题考查尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规．根据射线、直线的无限延伸性以及确定弧的条件即可作出判断．
详解
A.射线是不可度量的，故选项错误；
B.正确；
C.直线是向两端无限延伸的，故选项错误；
D.需要说明半径的长，故选项错误．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
同位角不一定相等，故说法错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
连接，并且平分这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：．
根据对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识一一判断即可．
本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，点到直线的结论，基本作图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：由作法得垂直平分，
．
故选：．
利用作法得到垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
10.【答案】
【解析】解：，是斜边，小惠作的斜边长是符合条件，而小雷作的是直角边长是故小惠正确，小雷错误．
故选A．
作，使得，，即斜边的长是，根据两人的作法是否符合条件即可．
本题考查了复杂作图，正确理解题意，理解作图的要求是关键．
11.【答案】 根据垂线段最短即可解决问题
【解析】解：，
故答案为．
Ⅱ如图线段即为所求．理由：根据垂线段最短即可解决问题．
故答案为：根据垂线段最短即可解决问题．
利用勾股定理计算即可．
Ⅱ根据垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复杂的几何作图，基本作图是作一条线段等于已知线段；主要利用圆规截取或以某点为圆心，以所作的线段长为半径作圆得出．
先作，再延长到，最后连接．
【解答】
解：作法：作，使，，，
延长到，使，
连接，
故答案为：．
15.【答案】【小题】
以点为圆心，为半径画弧交射线于点，则点即为所求．图略．
【小题】
因为，，，所以，所以设，则因为，所以，即，解得，即的长为．

【解析】 略
略
16.【答案】解：作线段
作线段的垂直平分线，与交于点
在上取一点，使
连接，，则即为所求作的三角形．

【解析】本题主要考查的是等腰三角形的画法的有关知识，作线段，作线段的垂直平分线，与交于点，在上取一点，使，连接，，则即为所求作的三角形．
17.【答案】【小题】
如图所示．
【小题】
能，如图所示．
【小题】

【解析】 略
略

当角为已知两边的夹角时，可画出个满足条件的三角形；当角为长的边所对的角时，可画出个满足条件的三角形；当角为长的边所对的角时，可画出个满足条件的三角形．综上所述，满足题意的三角形共有个．
18.【答案】【小题】
补全图形如图所示．
【小题】
因为是等边三角形，
所以，，
因为点关于射线的对称点为点，
所以，，
所以，
，所以
，
所以．
【小题】
．
证明：如图，在上取一点，使．
由知，，
因为，
所以，
所以，
由题易知，
所以是等边三角形，
所以，，因为，
所以，所以，
因为是等边三角形，所以，
由知，，
所以，所以，
所以．

【解析】 见答案
见答案
见答案
19.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图所示，点即为所求．

【解析】作线段的垂直平分线交直线于点，点即为所求；
作点关于的对称点，连接并延长交直线于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图所示，
理由如下：如图，过点作的垂线，过点作垂直，
，
连接，，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
如图所示，
理由如下：如图，连接并延长使得，连接，作的垂直平分线交圆于点，作直径即可。
，
，，，
≌，
，
．

【解析】本题考查圆内尺规作图，根据尺规作图基本方法构造图形即可。
过点作的垂线，过点作垂直即可；
连接并倍长到，连接，作的中垂线交圆于点，连接并延长交圆于点即可。
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