4.1不等式 湘教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析)

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4.1不等式湘教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的最小值是，的最大值是，则( )
A. B. C. D.
2.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是( )
A. B. C. D.
3.已知是负数，下列关于的不等式组无解的是( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.北京朝阳区二模已知药品的保存温度要求为，药品的保存温度要求为，若需要将，两种药品放在一起保存，则保存温度要求为 ．
A. B. C. D.
6.关于的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.把一些书分给若干名同学，若每人分本，则有剩余；若________依题意，设有名同学，可列不等式则横线上的条件应该是( )
A. 每人分本，则剩余本
B. 每人分本，则恰好可多分给个人
C. 每人分本，则剩余本
D. 其中一个人分本，则其他同学每人可分本
8.如图，该数轴表示的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
10.不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若关于、的二元一次方程组的解满足，则满足的不等式为 ．
12.“小丽上周每天睡眠时间不少于小时，她上周五的睡眠时间是小时”，用不等式表示其数量之间的关系为_________．
13.下表中结出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则不等式组的解集为______．
14.关于的不等式组的解集是，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知定义在上的函数．
判断函数在上的单调性，并用定义给出证明；
解关于的不等式．
16.本小题分
先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
因为，从数轴上如图可以看出只有大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为．
因为，从数轴上如图可以看出只有小于的数和大于的数的绝对值大于所以的解集为或．
的解集为______，的解集为______；
不等式的解集是______．
若对任意的都成立，则的取值范围是______．
17.本小题分
数学来源于生活，生活中处处有数学用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．
糖水实验一：
现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度即糖的质量与糖水的质量比为加入克水，则糖水的浓度为______；
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”______；并通过计算说明该不等式成立．
18.本小题分
整式的值为．
当时，求的值；
若的取值范围如图所示，求的正整数值．
19.本小题分
在数轴上有，两点，其中点所对应的数是，点所对应的数是已知，两点的距离小于，请你利用数轴．
写出所满足的不等式；
数，，所对应的点到点的距离小于吗？
20.本小题分
阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应点之间的距离这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例如：解方程．
解：，
在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即该方程的解为．
【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
我们定义：形如“，，，”为非负数的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
由图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．
例如：解不等式．
解：如图，首先在数轴上找出的解，即到的距离为的点对应的数为，，则的解集为到的距离大于的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
方程的解为______．
不等式的解集是______．
不等式的解集是______．
不等式的解集是______．
若对任意的都成立，则的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是不等式的意义和代数式的求值根据不等式的意义确定和的值，再将其代入代数式计算即可．
【解答】
解：，
最小值为，
即，
，
最大值为，
即，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
【解答】解：处是空心圆点，且折线向右，
这个不等式可能是．
故选：．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：是负数，即，
A、的解集为：，不符合题意；
B、的解集为，不符合题意；
C、的解集为无解，符合题意；
D、的解集为：，不符合题意；
故选：．
根据不等式组解集的确定方法分别求出各不等式组的解集即可．
本题考查了不等式的求解问题，解题的关键是熟知求不等式组的解集应遵循的原则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
4.【答案】
【解析】【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：药品的保存温度要求为，药品保存温度要求为，
将，两种药品放在一起保存，保存温度要求为．
故选：．
需要将，两种药品放在一起保存，保存温度正好是药品保存温度的最低度数和药品保存温度的最高度数．
此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂药品保存温度和药品保存温度的要求．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式解集的表示方法是解题关键．根据不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，实心圆点包括该点用“”，“”表示，空心圆圈不包括该点用“”，“”表示，大于向右，小于向左．
【解答】
解：由数轴，得
，
故选A．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集有关知识，根据数轴直接写出不等式的解集即可．
【解答】
解：由数轴可知：该不等式的解集为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，先解关于的不等式，得出解集，再根据不等式的解集是，从而得出与的关系，解得不等式的解．
【解答】
解：因为关于的不等式的解集是，
所以，且，
解得，
所以，
则关于的不等式，
可化为：，
所以，
因为，
所以，
则．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：表示数轴上右边的部分，且处是实心点，
故选：．
表示数轴上右边的部分，且处是实心点，据此来判断．
本题主要考查了不等式解集在数轴上的表示方法，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
，得，则．
根据题意，得．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，关键是用数学符号表示文字语言．
根据“不少于”即“”列式即可．
【解答】
解：根据题意，得．
故答案是：．
13.【答案】
【解析】解：将，；，代入中得：
，
解得：，
原方程为，
当时，；当时，，
的解集为．
故答案为：．
根据题意列出方程组，求出的值，再将相关数据代入方程求出的值，进而求出不等式组的结集．
本题考查不等式的解集和二元一次方程的解，正确代入数据进行计算是解题关键．
14.【答案】
【解析】因为，所以，所以．
15.【答案】函数在上单调递增．
证明：任取，，且，
，
因为，，且，
所以，，，从而，即，
所以函数在上单调递增．
由知在上单调递增，同理可证在上单调递减．
令，则，且，注意到，
所以，即，
因为在上单调递增，所以，
所以不等式的解集是．
【解析】略
16.【答案】 或 或
【解析】解：由题意，，
．
，
或．
故答案为：；或．
由题意，从数轴上看，当时，取最小值为，
当或时，．
不等式的解集是或．
故答案为：或．
方程的解，即到的距离和到的距离之差为的点对应的数，
则的解集分三种在左侧，在和之间，在右侧的取值范围，
当时，不等式，
当时，不等式，又，，，
当时，不等式，
综上，．
故答案为：．
依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解；
依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为，故当或时，，即可判断得解；
依据题意，方程的解，即到的距离和到的距离之差为的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和之间，在右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
17.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故答案为：；
由题意得：，
故答案为：；
，
证明：，
，，
，
；
故答案为：．
根据题意列式表示；
根据题意列式表示；
根据作差法比较大小．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是截图的关键．
18.【答案】解：根据题意得：．
由图可知：，
即，
解得．
为正整数，
，．
【解析】把代入代数式中进行计算便可；
根据数轴列出的不等式进行解答便可．
本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第题关键是根据数轴列出的不等式．
19.【答案】解：根据题意得：，
得出，
由得：到点的距离小于的数在和之间，
在，，三个数中，只有所对应的点到点的距离小于．
【解析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．
20.【答案】， 或 或
【解析】解：方程的解为：，．
根据数轴，方程的解为：，即到的距离为的点对应的数为，，
则的解集为到的距离大于的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为或．
，
，
，
根据数轴，方程的解为：，，即到的距离为的点对应的数为，，
则的解集为到的距离小于的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为．
根据数轴，方程的解，即到和的距离为的点对应的数为在和之间的数都符合，
则的解集为在左边和右边所有的数，
所以原不等式的解集为或．
方程的解，即到的距离和到的距离之差为的点对应的数，
则的解集分三种在左侧，在和之间，在右侧的取值范围，
当时，不等式，
当时，不等式，又，，，
当时，不等式，
所以．
根据表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离进而作答，
依题意在数轴上找出绝对值的解，再根据数轴找出不等式的解集，
先将不等式变换成依题意在数轴上找出绝对值的解，再根据数轴找出不等式的解集，进而求出不等式的解集，
先在数轴上找出方程的解，再根据数轴找出不等式的解集，
分类讨论去绝对值，分三种情况：，，，进而作答
根据题意新定义绝对值不等式先在数轴上找出绝对值的解，再根据数轴找出不等式的解集，解题的关键是根据数轴理解绝对值不等式的含义作答．
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