2.5等腰三角形的轴对称性 苏科版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.5等腰三角形的轴对称性苏科版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，与相交于点，，如果请你再补充一个条件，使得是等腰三角形，那么你补充的条件不能是 ( )
A. B.
C. D.
3.如图，，按下面的步骤作图：在边上取一点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接；以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
4.如图，为等边三角形，、、分别是边、、的中点，则图中等边三角形的个数为 ( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，若某个三角形与能拼成一个等腰三角形无重叠，则拼成的等腰三角形有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.下列三角形中，若，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图，在边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点的运动过程中，线段长的最小值是 ( )
A. B. C. D.
8.如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹作直线与交于点，连接，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论错误的是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在等腰直角三角形中，，于点，的平分线分别交，于点，，为的中点，的延长线交于点，连接现有下列结论：；为等腰三角形；平分；其中正确的结论是 填序号．
12.如图，在中，，若，则 ______
13.如图，在中，，，的面积为若，，分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ．
14.如图，在中，，，为上一定点，，分别为边，上的动点．当的周长最小时，的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，平分，交于点，，垂足为求证：．
16.本小题分
如图，在中，，，垂足为动点从点出发沿边向终点以的速度匀速运动，同时动点从点出发沿射线以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止．连接，交射线于点，连接设点运动的时间为
若点在线段上运动，则当为何值时，和相等？
试探索与之间的数量关系，并说明理由．
17.本小题分
如图，在等边三角形中，为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点求证：．
18.本小题分
如图，已知等边三角形中，是的中点，连接，是延长线上的一点，且，，垂足为求证：是的中点．
19.本小题分
如图，在中，．
尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点；连接并延长，在的延长线上截取，使得；连接、保留作图痕迹，标明字母．
试判断、的位置关系，并说明理由．
20.本小题分
如图，线段与射线垂直，点是射线上一动点与点不重合，的平分线与的平分线交于点，与的外角的平分线交于点．
求的大小．
当点在射线上运动时，的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】 提示：连接，因为是等腰三角形，是底边的中点，所以，所以，所以因为是线段的垂直平分线，所以，所以，所以的长为的最小值，所以周长的最小值为．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】提示：在中，，，则取一个，使≌，此时有两种拼图方法：如图，将与拼接在一起：如图，将与拼接在一起．如图，取一个，使，，，，将与拼接在一起．如图，取一个，使，，，，将与拼接在一起．如图，取一个，使，，，，将与拼接在一起．如图，取一个，使，，，，将与拼接在一起．如图，取一个，使，，，，将与拼接在一起．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】提示：取的中点，连接易证≌，所以根据垂线段最短得，当时，的长最短，即的长最短．此时因为，，所以，所以长的最小值是．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】提示：由条件，得，，所以是等腰三角形．因为为的中点，所以，所以，所以是等腰三角形．又因为平分，所以为的中点，因为，所以，所以为等腰三角形，故正确；由可知，，所以，又因为，，所以，易证≌，得故正确；由可知为等腰三角形，，所以，所以，所以平分，故正确；由题条件可知，由可知，所以，又因为，所以，故正确．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
根据等边对等角可得，再根据，求出的度数，最后根据在中，，即可求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即：等边对等角．
13.【答案】
【解析】提示：如图，分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，由轴对称的性质，得，，，，因为，所以，所以为等边三角形，所以所以的周长为当点，分别位于，处时，等号成立，当时，长最小．此时，即，解得，所以周长的最小值为．
14.【答案】
【解析】提示：分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接交，于点，，连接，则，，此时的周长最小，最小值为的长．因为，，所以因为，所以由外角的性质，得，因为，，所以，，所以，所以．
15.【答案】证明：过点作，交的延长线于点，
所以，，
因为，平分，
所以，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以．
【解析】首先过点作，交的延长线于点，由在中，，平分，易证得，，是等腰三角形，又由三线合一，可证得，即可证得．
此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
16.【答案】【小题】
由题意，得，因为，所以因为，，所以当时，在和中，所以≌，所以，所以，解得故若点在线段上运动，则当的值为时，和相等．
【小题】
理由如下：过点作于点，于点因为，，所以因为，所以因为，，所以．

【解析】 略
略
17.【答案】如图，过点作，交于点是等边三角形，，，，，，是等边三角形．，在和中，≌，

【解析】略
18.【答案】在等边三角形中，是的中点，，，，，，，为等腰三角形．又，是的中点．
【解析】略
19.【答案】【小题】
如图所示
【小题】
理由：直线垂直平分线段，又在中，，，即，，，的内角和为，，即，．

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
，，平分，
平分，，，
，
，的度数为．
【小题】
形状不会发生变化，是等腰直角三角形．
理由如下：平分，平分，，．
，，是直角三角形．又，，，是等腰直角三角形．

【解析】 略
略
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