3.1勾股定理 苏科版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.1勾股定理苏科版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在长方形纸片中，，把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在中，，，，平分，于点，与相交于点，则的长是 ( )
A. B. C. D.
3.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边、在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，，周长为，斜边长与一条直角边长之比为，则的斜边长为 ( )
A. B. C. D.
5.如图，，是上异于点，的一点，则的值是 ( )
A. B. C. D.
6.如图，已知在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且与，与之间的距离分别为和，则的值是 ( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，分别以的边，，为新的直角边或斜边向外作等腰直角三角形、等腰直角三角形和等腰直角三角形，记，，的面积分别是，，，则，，之间的关系是 ( )
A. B. C. D.
8.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为 ( )
A. B. C. D.
10.已知直角三角形的面积为，两条直角边的和为，则其斜边长的平方为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知直角三角形的面积为，两直角边的差为，则它的斜边长为 ．
12.若一个直角三角形三边的长，，都是整数，且满足，，则这个直角三角形的面积为 ．
13.已知直角三角形的三边长、、满足，分别以、、为边长作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，重叠部分的面积为，则 填“”“”或“”．
14.如图所示，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，若点从点出发，以的速度沿运动．设运动时间为．
若点在上，且满足的周长为，求此时的值；
若点在的平分线上，求此时的值；
在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形．
16.本小题分
如图，在中，于点，点为上一点，连接、，的延长线交于点，已知，．
求证：．
利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：如图，在中，，，，，求证：．
17.本小题分
如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，求的长．
18.本小题分
如图，在中，，于点，，分别交，于点，，连接．
判断的形状，并说明理由．
若，求证：．
19.本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接．
求证：≌．
求证：．
如图，过点作于点并延长交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并给出证明．
20.本小题分
如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．若点在边上，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由折叠的性质可得，，，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长．
【解答】
解：把长方形纸片沿直线折叠，
，，，
在和中，
≌
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】 提示：过点作于点因为于点，所以，所以因为，所以又因为平分，，所以在中，，，，所以易证≌，所以，所以，，所以设，则在中，由勾股定理，得，解得所以的长是．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】提示：过点作于点，则，因为，，所以因为，，所以因为，所以所以因为，所以．
6.【答案】
【解析】提示：过点作于点，过点作于点易证≌，所以在中，根据勾股定理，得在中，根据勾股定理，得．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【解答】
解：在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故 A选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故 B选项可以证明勾股定理，
在选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故 C选项可以证明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选D．
9.【答案】
【解析】提示：在中，，，，根据勾股定理，得根据折叠可得，，，则有，所以是等腰直角三角形．用等积法可求得，根据勾股定理，得，所以．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】设两直角边长分别为和，则，，，，．．斜边长．
12.【答案】
【解析】提示：根据勾股定理，得，则，即因为，，都是整数，所以可设取，，当时，，，；当时，，，故直角三角形的面积为．
13.【答案】
【解析】直角三角形的三边长、、满足，该直角三角形的斜边长为，，即根据题意，得，，．
14.【答案】
【解析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．
【解答】解：由折叠可知：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，
故答案为：．
15.【答案】【小题】
解：在中，因为，，，所以连接因为的周长为，所以根据题意，得，则在中，，即，解得所以此时的值为．
【小题】
过点作于点因为点在的平分线上，所以根据题意，易证≌，所以，所以根据题意，得，在中，根据勾股定理，得，即，解得所以此时的值为．
【小题】
当为或或或时，为等腰三角形．

【解析】 略
略

提示：当点在上时，当且仅当时，为等腰三角形，即，解得当点在上时，不符合题意．当点在上时，若，则，解得；若，作于点，根据等面积法，得，在中，根据勾股定理，得，所以，则，解得；若，则易得，即，解得．
16.【答案】【小题】
，，，在与中，≌，，，，，．
【小题】
由≌，得，，，
，
．

【解析】 略
略
17.【答案】在中，，，，易得如图，过点作于点，则根据尺规作图痕迹，得平分，又，≌，，，在中，，，

【解析】略
18.【答案】【小题】
解：为等腰直角三角形．理由如下：因为，，所以，所以垂直平分，所以，所以，所以，所以为等腰直角三角形．
【小题】
在线段上取一点，使，连接由可知，在和中，所以≌，所以，因为，，所以，所以，因为，即，所以在中，由勾股定理，得，所以．

【解析】 略
略
19.【答案】【小题】
证明：因为，即，所以在和中，所以≌．
【小题】
证明：因为≌，所以，又因为，所以在中，根据勾股定理，得在中，根据勾股定理，得又因为，，所以．
【小题】
解：证明如下： 连接由，得，因为，，所以所以是的垂直平分线，所以在中，根据勾股定理，得，所以．

【解析】 略
略
略
20.【答案】四边形是长方形，，，是折痕，，在中，，，，设，则在中，，，解得，
【解析】略
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