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第1章 勾股定理 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 应城市期末）已知在中，，，，则的长为
A．4 B． C． D．5
2．（2024春 巴音郭楞州期末）下列各组数中，是“勾股数”的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
3．（2024春 临沭县期末）在中，若，则
A． B． C． D．
4．（2024春 科左中旗期末）由下列长度组成的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cm B．3cm，4cm，4cm
C．6cm，8cm，10cm D．2cm，cm，cm
5．（2024春 西乡塘区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是
A． B． C． D．
6．（2024 丹凤县二模）如图，的顶点，，均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为
A． B． C． D．
7．（2024春 肥城市期末）如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为
A．20 B．18 C．16 D．1
8．（2024春 澄海区期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是
A． B． C． D．2
9．（2024春 玉溪期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲）
②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）．
设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为
A． B．
C． D．
10．（2024春 香河县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 海州区校级二模）直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为 ．
12．（2024春 船营区校级期末）已知两条线段的长分别为3和4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是 ．
13．（2024春 任泽区期末）如图，，，，，则 ．
14．（2024春 潜江月考）观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
，
请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： ．
15．（2024春 广州期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．
15．（2024春 郯城县期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺）
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 莲湖区期末）如图，在中，于点．若，，，求的长．
18．（2024春 章贡区期末）的三边长分别为5，，，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值．
19．（2024春 洪山区期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长．
（2）判断的形状，并说明你的理由．
20．（2024春 古冶区期末）如图，在中，，，．
（1）直接写出的形状是 ；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
21．（2024春 商南县校级期末）如图，国道通过，两村庄，而村庄离国道较远，为了响应政府“村村通公路”的号召，村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道．已知村到，两村的距离分别为，，，两村距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？
22．（2024春 定西期末）如图，是的中线，是的高，是的中线，且，，．
（1）是直角吗？请说明理由．
（2）求的长．
23．（2023春 普兰店区期中）如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：，，，，．
（1）判断是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形需要铺的草坪网的面积．
24．（2023 西区校级一模）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．
25．（2023秋 大丰区期末）如图，在中，，垂足为，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2） ， ， ；
发现：“的三边分别是对应三边的 倍”；
猜想：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形吗？若是请说明理由，若不是，请举出反例．
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第1章 勾股定理 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 应城市期末）已知在中，，，，则的长为
A．4 B． C． D．5
【答案】
【解析】在中，，
，
．
故选．
2．（2024春 巴音郭楞州期末）下列各组数中，是“勾股数”的是
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
【答案】
【解析】、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数．
故选．
3．（2024春 临沭县期末）在中，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，即，
是直角三角形，，
故选．
4．（2024春 科左中旗期末）由下列长度组成的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，2cm B．3cm，4cm，4cm
C．6cm，8cm，10cm D．2cm，cm，cm
【答案】C
【解析】A选项：∵12+22≠22，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B选项：∵32+42≠42，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
C选项：∵62+82＝100＝102，∴这三条线段能组成直角三角形，符合题意；
D选项：∵，∴这三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选C．
5．（2024春 西乡塘区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意可得图形：，，
在中：，
，．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间．
观察选项，只有选项符合题意．
故选．
6．（2024 丹凤县二模）如图，的顶点，，均在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据网格特点，，
，
边长的高，
故选．
7．（2024春 肥城市期末）如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为
A．20 B．18 C．16 D．1
【答案】
【解析】，
，
故选．
8．（2024春 澄海区期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】展开后由勾股定理得：，
．
故选．
9．（2024春 玉溪期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲）
②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）．
设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】如图所示：
设旗杆的高度为米，
米，米，
根据以上信息，在中，由勾股定理可得，
故选．
10．（2024春 香河县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、梯形的面积为：，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
，故选项能证明勾股定理；
、大正方形的面积为：，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故选项能证明勾股定理；
、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
，
选项不能证明勾股定理；
、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
，故选项能证明勾股定理；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 海州区校级二模）直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为 6 ．
【解析】直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，
另一条直角边为，
此直角三角形的面积为：，
故答案为：6．
12．（2024春 船营区校级期末）已知两条线段的长分别为3和4，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是 5或 ．
【答案】5或．
【解析】当第三条线段为直角边时，4为斜边，根据勾股定理得第三边长为；
当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得第三边长为，
故答案为：5或．
13．（2024春 任泽区期末）如图，，，，，则 ．
【答案】．
【解析】，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
14．（2024春 潜江月考）观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
，
请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： 15，112，113 ．
【答案】15，112，113．
【解析】经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第⑥组勾股数的第一个数是13，第⑦组勾股数的第一个数是15，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为，第三个数为，
根据勾股定理，得：，
解得．
，
则得第⑦组数是：15，112，113．
故答案为：15，112，113．
15．（2024春 广州期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 6 ．
【答案】6．
【解析】由题意得，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
15．（2024春 郯城县期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 15 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺）
【答案】15．
【解析】如图，
在直角三角形中，
尺，（尺，
（尺，
即这根藤条的长度是15尺．
故答案为：15．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 莲湖区期末）如图，在中，于点．若，，，求的长．
【解析】因为，所以．
在中，．
在中，．
所以．
18．（2024春 章贡区期末）的三边长分别为5，，，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值．
【解析】该三角形是以为斜边的直角三角形，
，
．
19．（2024春 洪山区期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长．
（2）判断的形状，并说明你的理由．
【解析】（1），，；
（2）是等腰三角形，理由如下：
，；
，
是等腰三角形．
20．（2024春 古冶区期末）如图，在中，，，．
（1）直接写出的形状是 直角三角形 ；
（2）若点为线段上一点，连接，且，求的长．
【解析】（1），，，，
，
是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）在中，，
，
，，，
，
．
21．（2024春 商南县校级期末）如图，国道通过，两村庄，而村庄离国道较远，为了响应政府“村村通公路”的号召，村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道．已知村到，两村的距离分别为，，，两村距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？
【解析】过点作于，则这条水泥路的最短距离为的长度．
，，
，
．
．
答：这条水泥路的最短距离为．
22．（2024春 定西期末）如图，是的中线，是的高，是的中线，且，，．
（1）是直角吗？请说明理由．
（2）求的长．
【解析】（1）是直角．
理由是：
是的高，
，
在中，，
，
同理：，
，
，
，
，
是直角三角形，
是直角；
（2）是的中线，，
垂直平分，
，
在中，，
点是边的中点，
．
23．（2023春 普兰店区期中）如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：，，，，．
（1）判断是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形需要铺的草坪网的面积．
【解析】连接，如图，
，
在中， ， ，
，
在中， ， ． ，
，
为直角三角形，．
（2）由（1）知为直角三角形，，
，
，
．
24．（2023 西区校级一模）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．
【解析】证明：大正方形的面积等于，小正方形的面积等于，四个直角三角形的面积等于，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积，
即，
整理得．
25．（2023秋 大丰区期末）如图，在中，，垂足为，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2） ， ， ；
发现：“的三边分别是对应三边的 倍”；
猜想：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形吗？若是请说明理由，若不是，请举出反例．
【解析】（1）证明：，，，，
，，，
，
是直角三角形；
（2）解：，，，，，
，，，
故答案为：；；；
发现：解：由（2）知，的三边分别是对应三边的倍，
故答案为：；
猜想：解：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形，理由如下：
设将三边扩大倍，则将三边为，，，
，
将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形．
第1页（共1页）
