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第25章 概率初步 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 桓台县期末）下列事件是必然事件的是
A．清明时节雨纷纷
B．打开电视机，正在播动画片
C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球
D．任意画一个三角形，其内角和一定是
2．（2024春 定边县期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是
A． B． C． D．
3．（2024春 乳山市期末）如图，小明向由9个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投掷一枚飞镖，飞镖落在阴影三角形内的概率是
A． B． C． D．
4．（2024春 雅安期末）某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为
A． B． C． D．
5．（2024 蒙阴县三模）甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
6．（2024 菏泽二模）某口袋中有20个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则应该是
A．6 B．8 C．2 D．4
7．（2024春 金水区期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据：
试验者 试验总次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
下列说法正确的是
A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小
B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5
C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5
D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500
8．（2023秋 连州市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是
A．24 B．18 C．16 D．6
9．（2024 微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是
A．实验①科学 B．实验②科学
C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学
10．（2024 南召县一模）不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别．小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中．如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是
A．摸出标记数字为偶数的小球
B．摸出标记数字为5的小球
C．摸出标记数字比2大的小球
D．摸出标记数字能被3整除的小球
二．填空题（共6小题）
11．（2024 安徽模拟）成语“水中捞月”属于 事件．（填“必然”，“不可能”，“不确定”
12．（2024春 任城区校级期末）书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
13．（2024春 太原期末）山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
发芽频率 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为 （精确到．
14．（2024春 清江浦区期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小金将二维码打印在对角线长为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
15．（2024春 和平区期末）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球．
16．（2024 柘城县三模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字、、1、2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图象不经过第二象限的概率是 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 无锡）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
18．（2024春 榆阳区期末）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
（1）填空： ， ．
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到
19．（2024春 耀州区期末）为了促进学生的全面发展，丰富学生的课余生活，学校组织学生参加公益活动．活动有义务植树、敬老院慰问、维护道路交通和社区服务．七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，20名同学去敬老院慰问，5名同学去维护道路交通，剩下的10名同学去社区服务．
（1）“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”
（2）随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是多少？
（3）随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是多少？
20．（2024春 桥西区期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求的值．
21．（2024春 福山区期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块．
（1）将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率；
（2）若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．
①当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
②当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．
22．（2024春 绿园区校级期末）在一个不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，嘉航按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加；如图是他所画树状图的一部分．
（1）①嘉航第一次抽到标有数字为偶数的卡片的概率为 ．
②由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （选填“放回”或“不放回” ，第二次随机再抽出一张卡片．
（2）补全树状图，并求嘉航两次抽到卡片上的数字之和为奇数的概率．
23．（2024春 莱州市期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．求：
（1）转到数字8是 ；（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入）
（2）转动转盘，转出的数字不大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
24．（2024春 清江浦区期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到；
（2）试估算盒子里白球有 个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到，落地时面朝上点数“大于4”．
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
25．（2024 阳山县模拟）2023年以来，受宏观政策利好等多重因素影响，旅游行业驶入全面复苏新通道．我校数学兴趣小组就“我最喜欢的清远旅游景点”随机调查了某小区居民，选取其中四个有名的旅游景点，分别为：．连州地下河；．连南千年瑶寨；．黄腾峡生态旅游区；．英德宝晶宫．每人只能从中选一个景点，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的小区居民人数是 ；所在扇形的圆心角度数是 ．
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若甲、乙两名游客从这四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
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第25章 概率初步 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 桓台县期末）下列事件是必然事件的是
A．清明时节雨纷纷
B．打开电视机，正在播动画片
C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球
D．任意画一个三角形，其内角和一定是
【答案】
【解析】、清明时节雨纷纷属于随机事件，不符合题意；
、打开电视机，正在播动画片属于随机事件，不符合题意；
、袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球属于随机事件，不符合题意；
、任意画一个三角形，其内角和一定是属于必然事件，符合题意；
故选．
2．（2024春 定边县期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意可得，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”概率是．
故选．
3．（2024春 乳山市期末）如图，小明向由9个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投掷一枚飞镖，飞镖落在阴影三角形内的概率是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设小正方形的边长为1，则：；
故选．
4．（2024春 雅安期末）某校开设了航模、机器人、计算机编程三门特色课程，小雅同学从中随机选取两门课程，恰好选中航模和机器人的概率为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设航模、机器人、计算机编程分别用，，表示，
树状图如下：
由上可得，一共有6种等可能性，其中恰好选中航模和机器人的可能性有2种，
恰好选中航模和机器人的概率为，
故选．
5．（2024 蒙阴县三模）甲、乙两人一起玩如图的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏
A．公平 B．对甲有利
C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】
【解析】画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中甲胜的结果有4种，乙胜的结果有4种，
甲胜的概率，乙胜的概率，
甲胜的概率乙胜的概率，
这个游戏公平，
故选．
6．（2024 菏泽二模）某口袋中有20个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则应该是
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】
【解析】由题意得：甲获胜的概率为；乙获胜的概率为；
则：，
解得：，
故选．
7．（2024春 金水区期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据：
试验者 试验总次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
下列说法正确的是
A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小
B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5
C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5
D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500
【答案】
【解析】由表格中的数据得知，估计正面朝上的概率是0.5．
、随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故本选项错误，不符合题意；
、随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5，正确，符合题意；
、试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故本选项错误，不符合题意；
、当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定正好等于2500，故本选项错误，不符合题意；
故选．
8．（2023秋 连州市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是
A．24 B．18 C．16 D．6
【答案】
【解析】在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，
摸到白色球的概率为，
口袋中白色球的个数可能是（个．
故选．
9．（2024 微山县二模）为验证“掷一枚质地均匀的骰子，标有数字1的面朝上的概率是．”某同学做了下面两个模拟实验：①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，计算标有数字1的面朝上次数与总掷投次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，计算指针落在标有数字1区域的次数与总次数的比值（指针落在分界线不计）．你认为下面说法正确的是
A．实验①科学 B．实验②科学
C．两个实验都不科学 D．两个实验都科学
【答案】
【解析】①取一枚崭新的质地均匀的骰子，在平滑的地面上做反复掷投实验，标有数字1的面朝上的概率是；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成六份，并依次标上数字1，2，3，4，5，6，转动转盘，指针落在标有数字1区域的概率是；
两个实验都科学．
故选．
10．（2024 南召县一模）不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别．小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中．如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是
A．摸出标记数字为偶数的小球
B．摸出标记数字为5的小球
C．摸出标记数字比2大的小球
D．摸出标记数字能被3整除的小球
【答案】
【解析】由图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率约为，
、摸出标记数字为偶数的小球的概率为，不符合题意；
、摸出标记数字为5的小球的概率为，不符合题意；
、摸出标记数字比2大的小球的概率为，不符合题意；
、摸出标记数字能被3整除的小球的概率为，符合题意；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 安徽模拟）成语“水中捞月”属于 不可能 事件．（填“必然”，“不可能”，“不确定”
【解析】成语“水中捞月”一定不会发生，属于不可能事件．
12．（2024春 任城区校级期末）书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
【答案】．
【解析】从中任意抽取一本是数学书的概率．
故答案为：．
13．（2024春 太原期末）山西小米以其独特的品质和营养价值而闻名，被誉为“王冠上的明珠”，产出小米的植物叫“谷子”．某实验基地研究新品种谷子的种子发芽率，在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：
种子粒数 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
发芽种子粒数 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
发芽频率 0.923 0.883 0.89 0.915 0.905 0.897 0.902
据此估计，该品种谷子的种子发芽的概率约为 0.9 （精确到．
【答案】0.9．
【解析】大量的重复试验，发现“该谷子种子发芽“出现的频率越来越稳定于0.9，
该谷子种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
14．（2024春 清江浦区期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小金将二维码打印在对角线长为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 3 ．
【答案】3．
【解析】经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为0.6，
黑色阴影区域的面积是正方形纸片的0.6，
正方形的对角线长为，
正方形的面积为：，
黑色阴影区域的面积是．
故答案为：3．
15．（2024春 和平区期末）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 3 个绿球．
【答案】3．
【解析】一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，
袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
16．（2024 柘城县三模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字、、1、2，将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为，则函数的图象不经过第二象限的概率是 ．
【答案】．
【解析】画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
当，时，函数的图象不经过第二象限，
满足条件的结果有4种，
故函数的图象不经过第二象限的概率是：，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．（2024 无锡）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）．
（2）．
【解析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到白球的结果有1种，
∴摸到白球的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
白 红 绿
白 （白，白） （白，红） （白，绿）
红 （红，白） （红，红） （红，绿）
绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿）
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有6种，
∴2次摸到的球颜色不同的概率为．
18．（2024春 榆阳区期末）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
（1）填空： 63 ， ．
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到
【答案】（1）63；0.299；
（2）估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是0.3．
【解析】（1），
；
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.30．
19．（2024春 耀州区期末）为了促进学生的全面发展，丰富学生的课余生活，学校组织学生参加公益活动．活动有义务植树、敬老院慰问、维护道路交通和社区服务．七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，20名同学去敬老院慰问，5名同学去维护道路交通，剩下的10名同学去社区服务．
（1）“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于 随机 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”
（2）随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是多少？
（3）随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是多少？
【答案】（1）随机；
（2）；
（3）．
【解析】（1）名同学去社区服务，
“随机抽取一位同学是被分配去社区服务”属于随机事件；
故答案为：随机；
（2）七年级5班共有50名同学，20名同学去敬老院慰问，
随机抽取一位同学是被分配去敬老院慰问的概率是；
（3）七年级5班共有50名同学，分配其中15名同学去义务植树，5名同学去维护道路交通，
随机抽取一位同学是被分配去义务植树或维护道路交通的概率是．
20．（2024春 桥西区期末）已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共30个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求的值．
【答案】（1）黄色球的数量为9个；
（2）6．
【解析】（1）摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5，
摸到黄球的概率为：，
黄色球的数量为：（个；
（2）由题意得：，
解得：，
答：的值为6．
21．（2024春 福山区期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11张方块．
（1）将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽出一张是红桃的概率；
（2）若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和张黑桃后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，再从桌面上随机抽出一张牌．
①当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？
②当为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．
【答案】（1）；
（2）①为10；②为9、8、7时，这个事件的概率的最小值为．
【解析】（1）从中随机抽出一张是红桃的概率是；
（2）①事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，则剩下的牌只有方块，
当为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，
②事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，
剩下的牌有黑桃和方块，
，
当为9、8、7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件事件，
这个事件的概率的最小值为：．
22．（2024春 绿园区校级期末）在一个不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，这些卡片除数字外其余均相同，嘉航按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加；如图是他所画树状图的一部分．
（1）①嘉航第一次抽到标有数字为偶数的卡片的概率为 ．
②由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后 （选填“放回”或“不放回” ，第二次随机再抽出一张卡片．
（2）补全树状图，并求嘉航两次抽到卡片上的数字之和为奇数的概率．
【答案】（1）①；
②不放回；
（2）．
【解析】（1）①在一个不透明的袋子中装有四张标有数字2，3，4，5的卡片，其中卡片上标有偶数的有2张，
嘉航第一次抽到标有数字为偶数的卡片的概率为，
故答案为：；
②由图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后不放回，第二次随机再抽出一张卡片，
故答案为：不放回；
（2）补全树状图如图所示：
，
由图可得，共有12种等可能出现的结果，其中嘉航两次抽到卡片上的数字之和为奇数的情况有8种，
求嘉航两次抽到卡片上的数字之和为奇数的概率为．
23．（2024春 莱州市期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．求：
（1）转到数字8是 不可能事件 ；（从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入）
（2）转动转盘，转出的数字不大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【答案】（1）不可能事件；
（2）；
（3）①；②．
【解析】（1）转到数字8是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）转出的数字不大于3的概率是，
故答案为：；
（3）①设这三条线段能构成三角形的边长为，
则，
为转盘中的数字，
可以取值为4、5、6，
这三条线段能构成三角形的概率是；
②可以取值为4、5、6，
又这三条线段能构成等腰三角形，
这三条线段长为5，
这三条线段能构成等腰三角形的概率是．
24．（2024春 清江浦区期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 0.25 （精确到；
（2）试估算盒子里白球有 个；
（3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到，落地时面朝上点数“大于4”．
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
【答案】（1）0.25；
（2）10；
（3）③④．
【解析】（1）由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）根据题意得：（个，
故答案为：10；
（3）①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到，落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意；
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
④在一道单选题、、、四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：③④．
25．（2024 阳山县模拟）2023年以来，受宏观政策利好等多重因素影响，旅游行业驶入全面复苏新通道．我校数学兴趣小组就“我最喜欢的清远旅游景点”随机调查了某小区居民，选取其中四个有名的旅游景点，分别为：．连州地下河；．连南千年瑶寨；．黄腾峡生态旅游区；．英德宝晶宫．每人只能从中选一个景点，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的小区居民人数是 150人 ；所在扇形的圆心角度数是 ．
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若甲、乙两名游客从这四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
【答案】（1）150人；．
（2）见解答．
（3）．
【解析】（1）扇形统计图中的百分比为，
参与本次抽样调查的小区居民人数是（人．
所在扇形的圆心角度数是．
故答案为：150人；．
（2）选择景点人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择同一景区的结果有4种，
他们选择同一景区的概率为．
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