人教版八年级上册数学同步练习卷 11.2.2 三角形的外角（含解析）

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人教版八年级上册数学同步练习卷
11.2.2 三角形的外角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=30°, ∠DAE=60°，那么∠ACD等于（ ）
A．90° B．60° C．80° D．100°
2．如图，已知//，，，则∠BCD的度数为（ ）
A．55° B．45° C．60° D．50°
3．下列四个命题中，假命题有（ ）
①内错角相等，两直线平行；
②若，则；
③三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，直线，，，则的大小是（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
5．一副三角板如图所示放置，ABDC，∠CAE的度数为（　　）
A．45° B．30° C．15° D．10°
6．如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，含角的三角板的直角顶点在直线上，一个锐角的顶点在直线上，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
11．如图是我们常见的某款婴儿手推车的平面示意图，如果，，，那么的度数为（ ）
如图是我们常见的某款婴儿手推车的平面示意图，如果AB∥CD，∠1=55°，∠2=30°，那么∠3的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，线段相交于同一点，连接则 ．
14．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是 ．
①的面积等于的面积；②；③；④是的角平分线
15．如图所示，是的外角的角平分线，且交的延长线于点，若，则的度数为 ．
16．如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度．
17．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
18．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，∠ABC=50°，∠BAC=66°，则∠ACD= ．
19．如图，已知△OAB中，∠AOB=72°，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABN的平分线所在的直线交于点D，则∠ADB的大小为 ．
20．如图，已知直线，直线垂直于，垂足为，直线交于点，，则 ．
三、解答题
21．已知，如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．

(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止，在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值，并选择其中一种情况书写计算过程．
22．将下面求解的过程补充完整：
如图，在中，，，过点作边上的高，交的延长线于点，平分交于点，求的度数．
解：是的一个外角，且，， ． (三角形的外角等于与它 的和) 又平分， °， 又是的一个外角，且， ．
23．已知一副三角板与．图中，，，
(1)将两个三角板如图（1）放置，连接，计算______．
(2)将图（1）中的三角板绕点顺时针旋转一个锐角．
①在旋转的过程中，当点在直线的上方时，如图（2），探究、、间的数量关系，并说明理由？
②在旋转的过程中，当点运动到直线的下方时，如图（3），探究、、间的数量关系，并直接写出此时的关系式．
24．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点．
(1)如图1：
①如果，，那么的度数为______；
②如果设，，那么的度数为______．
（用含有、的式子表示）
(2)如图2：
①试说明；
②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______．
参考答案：
1．A
【详解】解：根据AD平分∠CAE，且∠DAE=60°，可得∠CAE=120°，然后根据邻补角的意义可知∠CAB=60°，再根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，可直接求得∠ACD=90°．
2．B
【分析】根据两直线平行，内错角相等以及三角形外角和定理即可解答．
【详解】解：延长ED交BC于M，
∵//，
∴，
∵，
∴，
由外角定理得：，
3．A
【分析】根据平行线的判定可以判断①；根据不等式的性质可以判定②④；根据三角形外角的性质可以判定③．
【详解】解：①内错角相等，两直线平行，故①是真命题，不符合题意；
②若，则，故②是假命题，符合题意；
③三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，故②是真命题，不符合题意；
④若，则，故④是真命题，不符合题意；
4．D
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质即可得到∠3的度数．
【详解】解：反向延长∠2的一边，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
5．C
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，由三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∵∠AED＝45°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠ACD＝15°．
6．B
【分析】根据平行线的性质，得到，根据反射，得到，利用外角的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵反射，
∴，
∴；
7．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质．由平行线的性质得到，由对顶角的性质得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
∵，
，
，
．
8．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，根据三个内角的比利用三角形内角和定理求出最小的内角，进而可得最大的外角．
【详解】解：∵三角形中，三个内角的比为，
∴该三角形最小的内角为，
∴该三角形最大的外角为，
9．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求得的度数，根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】解：由三角形的外角性质得，，
∵直线，
∴，
10．C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】如图，
因为，
所以，
因为，
所以，
11．B
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
12．A
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质有，最后利用即可求解．
【详解】如图
∵ ，
．
，
∴．
13．
【分析】根据一周角等于360°以及对顶角相等可得以O为顶点的三个内角的和为180°，再根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】如图所示
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2＋∠3）＝3×180°＝540°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540° 180°＝360°．
14．①②③④
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等即可判断①；根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据三角形的角平分线的定义判断④即可．
【详解】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底同高的三角形的面积相等），①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，③正确；
∵CF是∠ACB的平分线，CF交AD于点G，
∴CG是△ACD的角平分线，④正确；
15．
【分析】根据三角形外角性质求出∠ECD，根据角平分线定义求出∠BCD，根据三角形外角性质求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的外角的角平分线，
∴，
∴．
16．
【分析】根据角平分线是定义可得，，设，，根据三角形的外角定理可得，，得：，再用相同的方法，一次求出，即可求解．
【详解】解：令相交于点M，相交于点P，
∵、的平分线交于，
∴，，
设，
∴，
，
得： ，
整理得：，
同理可得：，
，
，
17．87°
【详解】在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
点睛：本题考查的知识点是三角形内角和定理，三角形三个内角和等于180°．
18．
【分析】根据三角形外角的性质可直接得出答案.
【详解】根据三角形的外角的性质，可知
19．36°
【分析】根据三角形的外角的性质得到∠ABN-∠OAB=∠AOB=72°，再根据角平分线的定义进行计算即可.
【详解】解：根据题意可得，∠ABN-∠OAB=∠AOB=72°，
∵AD平分∠OAB，BC平分∠ABN，
∴∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠OAB，
∴∠ADB=∠ABC-∠BAD=（∠ABN-∠OAB）=36°.
20．140°
【分析】先根据垂直的定义求出∠AGE=90°，由三角形外角的性质得出∠AHE的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵EG⊥AB，
∴∠AGE=90°．
∵∠1=50°，
∴∠AHE=∠1+∠AGE=50°+90°=140°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AHE=140°．
故答案为：140°．
21．(1)
(2)，详见详解
(3)或6.5或12.5或16.5
【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△的三边分别与平行，当时，与同的夹角（锐角）相等，从而列出方程求得结果，当时，同样的方法求得，当时，此时，根据四边形内角和列出方程求得结果．
【详解】（1）解：如图1：

延长交于，设，交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：，
，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交于G，设交于点H，

设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：
；
（3）解：解：如图，由（2）知：，
，
，，
又，
，
∵，
∴，
当时，如图，，，
由，得，
；

当时，如图：，，
由得，，
解得，；

当时，设交于点G，交于点，，两种情况：如图，第一种情况，，
，由得，，
解得，

第二种情况，如图，，，，
由得，，
解得，；

综上所述：或6.5或12.5或16.5．
22．，，，不相邻的两个内角，，，，，
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题关键是熟知基础知识能根据图形选择合适的性质进行角的计算和转化．
【详解】解：是的一个外角，且，，
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又平分，
，
又是的一个外角，且，
．
23．(1)
(2)①，理由见详解；②，理由见详解
【分析】（1）在中，，，，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）①根据三角形的内角和定理，外角和定理，分别在，，中即可求解；②根据三角形的内角和定理，外角和定理，分别在，中即可求解．
【详解】（1）解：三角板与如图1拼接，则有四边形，
∵在中，，，，
∴，
故答案为：．
（2）解：①，理由如下，
如图所示，与交于点，与交于点，
在中，；在中，；在中，，且，，
∴，整理得，，
∴；
②，理由如下，
如图所示，与交于点，与交于点，且，，
在中，，且；在中，，且；在中，，
∴，
∴．
24．(1)①；②
(2)①见详解；②
【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案；
（2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可．
【详解】（1）解：①如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如下图，过点作，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①；②；
（2）①证明：如下图，过点作，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如下图，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
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