上海市青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试

青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试
　　　　　　数学试题　　　Q.2016.01.05
（满分150分，答题时间120分钟）
学生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组的增广矩阵是_____________.
2．已知是关于的方程的一个根，则实数_____________.
3．函数，若，则实数的取值范围是 .
4．已知函数，图像的一条对称轴是直线，则 .
5．函数的定义域为 .
6．已知函数，若，且，则的取值范围是 　 ．
7.已知，,
满足，则实数的取值范围是 .
8．执行如图所示的程序框图，输出结果为 .
9．平面直角坐标系中，方程的曲线围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是 .
11．已知平面向量、、满足，且，，则的最大值是 .
12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②在原点，在点，在点，在点，在点，在点，，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“”为中心的“桩”上，则放置数字的整点坐标是 ．
13．设的内角、、所对的边、、成等比数列，则的取值范围_______．
14．若函数是定义在上的奇函数，当 时,
若对任意的，，则实数的取值范围是________________．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.是“直线与直线相互垂直”的
………………………………………………………………………………………（ ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16.复数(, 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（ ）.
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
17．已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ）.
（A）个 （B）个 （C） 个 （D）个
18．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一、三象限的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是…………………………………………………………………（ ）.
（A） （B） （C） （D）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
如图所示，在四棱锥中，，∥且，，点为线段的中点,若，与平面所成角的大小为.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积.
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值．
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分.
如图，有一块平行四边形绿地，经测量，，拟过线段上一点设计一条直路（点在四边形的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为︰的左右两部分，分别种植不同的花卉，设，．
（1）当点与点重合时，试确定点的位置；
（2）试求的值，使路的长度最短．
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
设数列的所有项都是不等于的正数，的前项和为，已知点在直线上（其中常数，且）数列，又．
（1）求证数列是等比数列；
（2）如果，求实数的值；
（3）若果存在使得点和都在直线在上，是否存在自然数，当（）时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
已知函数满足关系，其中是常数.
（1）设，，求的解析式；
（2）设计一个函数及一个的值，使得；
（3）当，时，存在，对任意，恒成立，求的最小值.
青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试
参考答案及评分标准 2016.01
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1． ； 2. ； 3． ； 4． ； 5． 6． ； 7． ； 8． ； 9. ； 10. ； 11． ； 12. ； 13. ； 14. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4 ( http: / / www.21cnjy.com )题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. ；16. ； 17． ；18. .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
19. 解：（1）证明：，，
又中， ，点为线段的中点，
（2），又，，
连结，可得是与平面所成角，又与平面所成角的大小为，， 在中，，
.分
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，即
又椭圆的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为,且
又以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切
即,所以椭圆的方程是
（2）设，
又， 即在椭圆上,即
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分.
解：（1）
当点与点重合时，由已知，
又 ,是的中点
（2）①当点在上，即时，利用面积关系可得，
再由余弦定理可得；当且仅当时取等号
②当点在上时，即时，利用面积关系可得，
（ⅰ）当时，过作∥交于，在中，
，利用余弦定理得
（ⅱ）同理当，过作∥交于，在中，
，利用余弦定理得
由（ⅰ）、（ⅱ）可得，
， ,，当且仅当时取等号 ,由①②可知当时，路的长度最短为．
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
解：（1）因为、都在直线上，所以，
即，又，且，所以为非零常数，所以数列是等比数列
（2）由得，即得．
由在直线上得上，令得
（3）由知恒成立等价于恒成立．
因为存在使得点和都在直线在上，所以，即，另，易证，又，
即是首项为正，公差为的等差数列．
所以一定存在自然数，使即，解得，，．存在自然数，其最小值为使得当（）时，恒成立时，恒成立．
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）， ；
（2），
若，则
，
(3),
显然，即的最小正周期是，
因为存在，对任意，恒成立，
所以当或时，
当时，
所以
或
所以的最小值是.
说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分
( http: / / www.21cnjy.com )
第8题
是
开始
输出S
否
n=1，S=0
n≤2015
n←n+2
结束
A
B
D
C
H
P
第19题图
第21题图
A
B
D
C
E