上海市闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试理科数学

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数满足（为虚数单位），则 .2
2．若全集，函数的值域为集合，则 .
3．方程的解为 .
4．函数的最小正周期= .
5．不等式的解集为 .
6．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .
7．已知中，，，其中是基本单位向量，则的面积为 .
8．在2017年的上海高考改革方案中，要 ( http: / / www.21cnjy.com )求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10
9．若是等差数列的前项和，且，则 . 5
10．若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于 . 1
11．若点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为 .
12．已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（）,则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为 .
14．已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4 ( http: / / www.21cnjy.com )题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．若，且，则“”是“等号成立”的（ A ）.
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
16．设，则其反函数的解析式为（ C ）.
(A) (B)
(C) (D)
17．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（ B ）.
(A) (B) (C) (D)
18．函数的定义域为，图像如图1所示；函数的定义域为，图像如图2所示.,,则中元素的个数为（ C ）.
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
如图，三棱柱中，侧棱底面，，,，为棱中点，证明异面直线与所成角为，并求三棱柱的体积．
[证明]在三棱柱中，侧棱底面，，或它的补角即为异面直线与所成角，…………………………2分
由，,以及正弦定理得，即，…………4分
又，，…………6分
………………8分
所以异面直线与所成角的为．…………………… 10分
三棱柱的体积为． …………12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．
如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，．
（1）若，，求的值；
（2）证明：．
[解]（1）方法一:，
= …3分
，即， ………………………………6分
． ………………………………8分
方法二:，，即， …………3分
，两边平方得， ……………………………6分
． …………………………………8分
（2）[证明]由题意得，，
= ………………10分
又因为与夹角为，
= ………………………12分
综上成立． ……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、，海岸边界近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道，且直线与曲线有且仅有一个公共点（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段是函数图像的一段，点到、的距离分别为千米和千米，点到的距离为千米，以、分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点的横坐标为.
（1）求曲线段的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点沿公路至点观景，要使得沿折线比沿折线的路程更近，求的取值范围.
[解]（1）由题意得，则，故曲线段的函数关系式为，4分
又得，所以定义域为. ……………………………6分
（2），设由得
，, …………8分
，得直线方程为， ………10分
得，故点为线段的中点，
由即 …………………………12分
得时，，所以，当时，经点至路程最近. 14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值；
（3）若直线过点（），且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.
[解]（1）设椭圆的方程为，由题设得，…2分
，椭圆的方程是 …………………………4分
（2）设直线，由得
与抛物线有两个交点，，，
则 …………………………6分
到的距离，又,
，故． ………………………10分
（3），点关于轴的对称点为，
则直线，设得
直线，设得14分
，又，，
．………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．
已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．
（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出，并证明：对任意，；
（3）已知数列为“关联数列”，且，是否存在正整数，使得若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
[解]（1）为“6关联数列”，前6项为等差数列，从第5项起为等比数列
且， 即，解得 …………2分
（或）． ……………………4分
（2）由（1）得（或）
…………………………………6分
，
，可见数列的最小项为，
证明：，
列举法知当时，； ………………………………………8分
当时，，设，则，． ……………………10分
（3）为“关联数列”，且
，
…………………………12分
①当时，由得
，或．
②当时，由得，不存在 ………………14分
③当时，由，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，舍去；当时，舍去
当时，舍去；当时，舍去……16分
综上所述，存在或或或． …………………18分
学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________
…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………
x
y
-1
O
1
2
1
图2
x
y
-1
O
1
1
-1
图1
C
A
B
D
A1
B1
C1
O
x
y
A
B
x
y
A
B
M
N
P
O
大海