上海市黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试理科数学

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷（理科） 2016年1月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解集用区间表示为 ．
2．函数的最小正周期是 ．
3．直线的一个方向向量可以是 ．
4．若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．
5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．
6．若函数在区间上有且只有一个零点，则 ．
7．若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为 ．
8．若对任意不等于的正数，函数的反函数的图像都过点，则点的坐标是 ．
9．在的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为，则二项式系数的最大值为
（结果用数字作答）．
10．在△中，若，且，则 ．
11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续天中随机抽取天进行紧急疏散演练，那么选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）．
12．已知，若曲线与曲线无交点，则 ．
13．已知点（）和抛物线：，过的焦点的直线与交于、两点，若，且，则 ．
14．若非零向量，，满足，且，则与的夹角为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知复数，“”是“为纯虚数”的 [答] ( B )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．
A． B．
C． D．
17．已知为直线上一动点，若点与原点均在直线的同侧，则、满足的条件分别为 [答] ( A )．
A．， B．，
C．， D．，
18．已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零．若线段，，，的长分别为，，，，则 [答] ( C )．
A．对任意的，均存在以，，为三边的三角形
B．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形
C．对任意的，均存在以，，为三边的三角形
D．对任意的，均不存在以，，为三边的三角形
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为10．
（1）若侧棱垂直于底面，求该三棱柱的表面积．
（2）若侧棱与底面所成的角为，求该三棱柱的体积．
[解]（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，
而底面三角形的面积，（2分）
周长，（4分）
于是三棱柱的表面积．（6分）
（2）如图，过作平面的垂线，垂足为，为三棱柱的高．（8分）
因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得．（9分）
又底面三角形的面积，故三棱柱的体积．（12分）
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，已知点是单位圆上一点，且位于第一象限，以轴的正半轴为始边、为终边的角设为，将绕坐标原点逆时针旋转至．
（1）用表示、两点的坐标；
（2）为轴上异于的点，若，求点横坐标的取值范围．
[解]（1）由题设，点坐标为，（2分）
其中（）．（3分）
因为，所以点坐标为，即．（5分）
（2）设（），于是，，
因为，所以，即，（8分）
整理得，由，得，（10分）
此时，且，于是，且（）得，且．
因此，点横坐标的取值范围为．（12分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
　 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上．米，米，，设，．
（1）试用解析式将表示成的函数；
（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值．
[解]（1）直角三角形中，，直角三角形中，．
正方形中，由，得，于是，
代入并整理得．（4分）
因为，，所以，从而．（6分）
因此， （）．
（2），（8分）
将代入上式，得，（10分）
当时，，当且仅当时，上式等号成立．（12分）
因此，三角形池塘面积的最小值为平方米，此时米．（14分）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形．
（1）当为正方形时，求该正方形的面积．
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值．
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式．
[解]（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和．（1分）
点、的坐标、为方程组的实数解，
将代入椭圆方程，解得．
根据对称性，可得正方形的面积．（4分）
（2）由题设，不妨设直线的方程为（），于是直线的方程为．
设，于是有，又，，（6分），将代入上式，
得，（8分）
对于任意，上式为定值，必有，即，（9分）
因此，直线和的斜率分别为和，此时．（10分）
（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为．
点、的坐标、为方程组的实数解．
① 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有．（11分）
② 当且时，将代入，
整理得，于是，（13分）
同理可得．（15分）
因为为菱形，所以，得，即，（16分）
于是，整理得，由，
得，即．（18分）综上，，满足的关系式为．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记．
（1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列．
（2）写出（），并用含的式子表示．
（3）利用，
证明：及．
（参考：．）
[证明]（1）若（），则有，于是．（2分）
当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数，
因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列4分
[解]（2）（）．（6分）
因为，于是
．（10分）
[证明]（3）先证．
①，
这里，（），因为，，…，为从到按任意次序排列而成，所以，，…，为从到个整数的集合，从而，（12分）
于是由①，得，
因此，，即．（14分）
再证．
由，得
16分
因为，
即，
所以，
即．（18分）