第6章 一元一次方程
6.1 从实际问题到方程
【知识与技能】
1.掌握如何设未知数.
2.掌握如何找等式来列方程.
3.了解尝试法、代入法寻找方程的解.
【过程与方法】
初步建立方程能解决实际问题的观念.
【情感态度】
通过本节的教学，应该使学生体会到数学与实际生活的密切联系，认识到数学的价值.
【教学重点】
1.确定所有的已知量和确定“谁”是未知数x.
2.列方程.
【教学难点】
找出问题中的相等关系.
一、 情境导入，初步认识
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
问题 某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
这个问题用数学中的什么方法来解决呢？
解：(328-64)÷44
=264÷44
=6 (辆)
答：还需租用44座的客车6辆.请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？
【教学说明】通过实际问题的引入，让学生明白数学的重要性.
二、思考探究，获取新知
1.在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？
含有未知数的等式叫方程.
2.讲解导入中的问题：
根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数x的方法来解决这个问题.
分析：设需租用客车x辆，则客车可以乘坐44x人，加上校车上的64人，就是328人.列方程为44x＋64=328.
解：设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.根据题意列方程得
44x+64=328
设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试.
【教学说明】初步建立方程能解决实际问题的观念，进入下一步的学习.
3.在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”
方法一：我们可以按年龄的增长依次去试.
1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；
2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；
3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一.
方法二：也可以用列方程的办法来解.
解：设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.
根据题意，列出方程得
13+x=1/3(45+x)
这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为 x＝3 .
【归纳结论】使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.
4.由上面的两个问题，你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗？
【归纳结论】设未知数x；找出相等关系；
根据相等关系列方程.
【教学说明】培养学生利用方程的思想解决问题的习惯，找出实际问题中的等量关系，这是解决这类问题的关键.
三、运用新知，深化理解
1.下列各式中，是方程的是( )
A.x-2=1
B.2x+5
C.x+y＞0
D.3y
2.下列方程中，解为x=1的是( )
A.5/6x=6/5
B.-0.7x=-0.7
C.-1/4x=1/4
D.3x=1/3
3.下列四个数中，是方程x+2=0的解为( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
4.语句“x的3倍比y的1/2大7”用方程表示为：________.
5.一根细铁丝用去2/3后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为________.
6.甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程.)？
7.一个水缸原来有水8升，水缸总共可以装水35升，小明每次往缸里加水9升，需要加水多少次才能加满(列出方程，不解方程.)？
8.检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解：
2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}
【答案】
1.A
2.B
3.B
4.3x=1/2y+7
5.x-2/3x=2
6.分析：等量关系是：甲车间生产的台数+乙车间生产的台数＝电视机总台数
解：设乙车间生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x-16)
根据题意列方程得 x+(3x-16)=120
7.分析：设需要加水x次才能加满水，共加水9x升，加上原来缸里的水8升，就是满缸35升水.可以得出方程9x＋8＝35.
解：设需要加水x次才能加满水，根据题意列方程得
9x＋8＝35
8.解：将x=-1代入方程的两边得
左边=2(-1+2)-5［1-2×(-1)］=-13
右边=-13
因为左边=右边，
所以x=-1是方程的解.
将x=1代入方程的两边得
左边=2(1+2)-5(1-2×1)=11
右边=-13
因为左边≠右边，
所以x=1不是方程的解.
四、师生互动，课堂小结
这节课主要讲了下面两个问题：
1.复习了用列方程的方法来解应用题；
2.检验一个数是否为方程的解的方法.
1.布置作业:
2.完成练习册中本课时练习.
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法.整个教学过程突出了三个注重： ①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣. ②注重师生间、同学间的互动协作、共同提高.③注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用.
课件14张PPT。6.1 从实际问题到方程第6章 一元一次方程列出下列代数式（1）一本笔记本1.2元，x本需要________钱。（2）一支铅笔a元，一支钢笔b元，小强买2支铅笔和
3支钢笔一共需要____________元钱。（3）长方形的宽为a,长比宽长3，则该长方形的
面积为___________.(4)x辆44座的汽车加上2辆32座的汽车最多可以
乘坐________人。1.2x(2a+3b)a(a+3)(44x+64)复习导入 一本笔记本1.2元，小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本？ 解：设小红能买到x本这样的笔记本（笔记本单价×购买数量=应付金额）1.2×x=6即：1.2 x = 6-----设未知数----分析数量关系--列出各关系量的代数式----------------解方程获得实际问题的解答例1：某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已知有2辆校车可乘坐64人，还需要租用44座的客车多少辆？ 解：设还需要租用44座的客车x辆----设未知数--找出数量关系（乘坐校车人数+乘坐客车人数=师生总人数 ）--列代数式64 + 44x = 328----------------------解方程获得实际问题的答案典例分析 开学初小红用12元买3个笔记本，找回1.20元，每个笔记本多少钱？解：设每个笔记本x元（买笔记本的钱+找回钱=小红拥有的钱 ）3x + 1.20 = 12例2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是
13岁，就问同学们：“我今年45岁，几年后你们
的年龄是我的三分之一？”（你能给出答案吗？）分析：1年后的情况是：老师46，学生14，不是老师年龄的三分之一 2年后的情况是：老师47，学生15，不是老师年龄的三分之一 3年后的情况是：老师48，学生16，是老师年龄的三分之一 例2：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是
13岁，就问同学们：“我今年45岁，几年后你们
的年龄是我的三分之一？“（你能给出答案吗？）解：设x年后学生年龄是老师年龄的三分之一学生年龄=老师年龄使方程的左边=右边的未知数的值叫着方程的解 练习：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解 （1）x-3(x+2)=6+x (x=3,x= -4) （1）当x=3时，左边=3-3(3+2)=-12,右边=6+3=9左边≠右边所以x=3不是方程x-3(x+2)=6+x的解当x=-4时，左边=-4-3(-4+2)=2,右边=6+（-4）=2左边=右边所以x=-4是方程x-3(x+2)=6+x的解（2）44x+64=328 (x=5,x=6 )随堂演练 练习2：检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解 （1）x-3(x+2)=6+x (x=3,x= -4) （2）当x=5时，左边=44×5+64=284,右边=328左边≠右边所以x=5不是方程44x+64=328的解当x=6时，左边= 44×6+64=328,右边=328左边=右边所以x=6是方程44x+64=328的解（2）44x+64=328 (x=5,x=6 )扩展练习一、判断题1、x=2是方程x-10=-4的解-----------------（ ）
2、x=1与x=-1都是方程x2-1=0的解-------（ ）
3、方程12(x-3)-1=2x+3的解是x=-4------ （ ）二、选择题1、方程2(x+3)=x+10的解是 ( )A x=3 B x=-3 C x=4 D x=-42、已知x=2是方程2(x-3)+1=x+m的解，则m=（ ）A 3 B 2 C -3 D -2×√×CC课后小结 通过这节课的学习活动，你有什么收获？1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业人要独立生活，学习有用的技艺。
—— 凯德课件7张PPT。章末复习
【知识与技能】
1.了解一元一次方程的概念，根据方程的特征，灵活运用一元一次方程的解法求一元一次方程的解.
2.能利用一元一次方程解决实际问题.
【过程与方法】
通过解决问题的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生认识本章的知识体系和方法体系.
【情感态度】
通过解决问题，让学生体会成功的乐趣，从而增强学生学好数学的兴趣和信心.
【教学重点】
解一元一次方程.
【教学难点】
实际问题与一元一次方程的应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、回顾思考，梳理知识
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
2.等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立.
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为0），等式仍然成立.
如果a=b，那么ac=bc ，a/c=b/c(c≠0).
3.方程的变形方法：
方程的两边都加上或（都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变.
方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变.
方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.
4.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
5.解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
6.等积类应用题的基本关系式是：变形前的体积＝变形后的体积.
7.利息的计算方法：
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息
＝本金＋本金×利率×期数
＝本金×（1＋利率×期数）
8.利润问题中的等量关系式：
商品利润=商品售价-商品进价
商品售价=商品标价×折扣数
商品利润/商品进价×100%=商品利润率
商品售价=商品进价×（1+利润率）
9.行程问题中基本数量关系是：
路程＝速度×时间,
变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：
相遇：相遇时间×速度和＝路程和，
追及：追及时间×速度差＝被追及距离.
10.工程问题中的等量关系式：
工作量＝工作效率×工作时间.
11.运用方程解实际问题的一般过程：
（1）审题：分析题意，找出题中的各个量及其关系；
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示；
（3）列方程：根据相等关系列出方程；
（4）解方程：求出未知数的值；
（5）检验：检验求出的值是否正确或符合实际情形；
（6）答：写出答案.
【教学说明】通过问题解决的过程对本章主要知识进行梳理回顾，使学生体会 本章的知识体系和方法体系
三、典例精析，复习新知例1方程y-10=-4y的解是（B）
A.y=1
B.y=2
C.y=3
D.y=4
例2给出下面四个方程及变形：（1）4x+10=0,变形为2x+5=0；（2）x+7=5-3x,变形为4x=12；（3）2/3x=5,变形为2x=15；（4）16x=-8, 变形为x=-2；其中方程变形正确的编号组为（ C）
A.（1）（2）
B.（1）（2）（3）（4）
C.（1）（3）
D.（1）（2）（3）
例4解方程5x-7+3x=6x+1.
解：5x+3x-6x=1+7
2x=8
x=4
解：2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1)
2-4x+4x+4=12-6x-3
6x=3
x=1/2
例6某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分，已知某人有5道题未做，得了103分，则这个人选错了多少题？
分析：等量关系是：选对所得的分-选错所扣的分＝最后的得分
解：设这人选错了x道题，则选对了(50-5-x)道.
3(50-5-x)-x＝103
解这个方程得 x＝8.
答：这个人选错了8道题.
例7 某校学生进行军训，以每小时5千米的速度去执行任务，出发4小时12分钟后，学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务，用了36分钟赶上了队伍，求摩托车的速度.
分析：等量关系是：学生队伍的行进路程＝摩托车行驶的路程 解：设摩托车的速度为每小时x千米.根据题意，列方程得
解这个方程得x＝40.
答：摩托车的速度为每小时40千米.
【教学说明】学生独立思考并完成，师生评价，给予学生充分的肯定，鼓励学生自我展示.
四、复习训练，巩固提高
1.若关于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)（a,b为常数）是一元一次方程，则（D）
A.a,b为任意有理数
B.a≠0
C.b≠0
D.b≠3
2.方程|2x-1|=4x+5的解是（C）
A.x=-3或x=-2/3
B.x=3或x=2/3
C.x=-2/3
D.x=-3
3.解方程3/4×(4/3x-1)=3,下列变形中，较简捷的是（B）
A.方程两边都乘以4，得3（4/3x-1）=12
B.去括号，得x-3/4=3
C.两边同除以3/4，得4/3x-1=4
D.整理，得(4x-3)/4=3
4.解方程（1）5(x-4)-7(7-x)-9=12-3(9-x)
解：5x-20-49+7x-9=12-27+3x
5x-3x+7x=12-27+20+49+9
9x=63
x=7
5(10x-20)-2(10x+10)=30
50x-100-20x-20=30
50x-20x=30+100+20
30x=150
x=5
（3）x-2［x-3(x-1)］=8
解： x-2［x-3x+3］=8
x-2x+6x-6=8
x-2x+6x=8+6
5x=14
x=2.8
5.某校组织学生春游，如果包租相同的大巴3辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问春游的总人数是多少？
分析：本题若直接设总人数则较难列出方程，所以可以改设每辆大巴的座位数为x 较方便.等量关系为：两种方案中的总人数相同.
解：设每辆大巴的座位数为x人，根据题意列方程得
3x+14＝4x-26
解这个方程得x＝40
所以总人数为：3×40+14＝134（人）
答：春游的总人数是134人.
6.某工人原计划用26天生产一批零件,工作两天后,因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务,问原来每天生产多少个零件?这批零件有多少个?
分析：本题利用“前2天的工作量＋后20天的工作量＝工作总量”来列等式，而“工作量＝工作效率×工作时间” .
解：设改进操作方法前每天生产零件x个，根据题意，得
2x＋(26-2-4)(x＋5)＝26x
解得x＝25.
所以，这些零件有26×25＝650(个).
答：原来每天生产零件25个，这批零件有650个.
7.一队学生去校外进行军事野营训练.他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
分析：(1)细审题意：学生队伍出发18分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行.通讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了5×18/60千米，设通讯员用x小时可以追上学生队伍
(2)找等量关系：追上学生队伍时，通讯员走的路程=学生队伍走的路程.
解：设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意，得14x=5×18/60+5x.
解这个方程，得x=1/6(小时)=10(分钟)
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍.
【教学说明】学生独立作答，自我检验，提升信心.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？请与同学交流.
1.布置作业:教材第21~22页“复习题”中第4、5、6、7、8、9、16、17题.
2.完成练习册中本课时练习.
本节课的教学中，老师分层次设置练习题，逐步突破难点.初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应.其中，第一个方面是主要的，解决了它，另两个方面就都好解决了.重点训练学生找相等关系列方程；要求学生独立设未知数列方程，并能突破用算术解法解应用题的思维定势，学会通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法.
课件27张PPT。第6章 一元一次方程
章末复习知识框架1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.
2.等式的基本性质：
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立.
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
性质2：等式两边都乘或除以同一个数或式子（除数不为0），等式仍然成立.
如果a=b，那么ac=bc ，a/c=b/c(c≠0).复习巩固3.方程的变形方法：
方程的两边都加上或（都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变.
方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数，方程的解不变.
方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.
4.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
5.解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.6.等积类应用题的基本关系式是：
变形前的体积＝变形后的体积.
7.利息的计算方法：
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息
＝本金＋本金×利率×期数
＝本金×（1＋利率×期数）8.利润问题中的等量关系式：
商品利润=商品售价-商品进价
商品售价=商品标价×折扣数
商品利润/商品进价×100%=商品利润率
商品售价=商品进价×（1+利润率）
9.行程问题中基本数量关系是：
路程＝速度×时间,
变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
常见题型是相遇问题、追及问题，
不管哪个题型都有以下的相等关系：
相遇：相遇时间×速度和＝路程和，
追及：追及时间×速度差＝被追及距离.10.工程问题中的等量关系式：
工作量＝工作效率×工作时间.
11.运用方程解实际问题的一般过程：
（1）审题：分析题意，找出题中的各个量及其关系；
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示；
（3）列方程：根据相等关系列出方程；
（4）解方程：求出未知数的值；
（5）检验：检验求出的值是否正确或符合实际情形；
（6）答：写出答案.典例分析例1 方程y-10=-4y的解是（ ）
A.y=1
B.y=2
C.y=3
D.y=4B例2 给出下面四个方程及变形：
（1）4x+10=0,变形为2x+5=0；
（2）x+7=5-3x,变形为4x=12；
（3）2/3x=5,变形为2x=15；
（4）16x=-8, 变形为x=-2；其中方程变形正确的编号组为（ ）
A.（1）（2）
B.（1）（2）（3）（4）
C.（1）（3）
D.（1）（2）（3）C例3 解方程5x-7+3x=6x+1.
解：5x+3x-6x=1+7
2x=8
x=4例4 某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分，已知某人有5道题未做，得了103分，则这个人选错了多少题？分析：等量关系是：
选对所得的分-选错所扣的分＝最后的得分
解：设这人选错了x道题，则选对了(50-5-x)道.
3(50-5-x)-x＝103
解这个方程得
x＝8.
答：这个人选错了8道题.例5 某校学生进行军训，以每小时5千米的速度去执行任务，出发4小时12分钟后，学校军训指挥部派通讯员骑摩托车追赶学生队伍传达新任务，用了36分钟赶上了队伍，求摩托车的速度分析：等量关系是：学生队伍的行进路程＝摩托车行驶的路程 .
解：设摩托车的速度为每小时x千米.根据题意，列方程得:解这个方程得x＝40.
答：摩托车的速度为每小时40千米.1.若关于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)（a,b为常数）是一元一次方程，则（ ）
A.a,b为任意有理数
B.a≠0
C.b≠0
D.b≠3巩固提高D2.方程|2x-1|=4x+5的解是（ ）
A.x=-3或x=-2/3
B.x=3或x=2/3
C.x=-2/3
D.x=-3C3.解方程3/4×(4/3x-1)=3,下列变形中，较简捷的是（ ）
A.方程两边都乘以4，得3（4/3x-1）=12
B.去括号，得x-3/4=3
C.两边同除以3/4，得4/3x-1=4
D.整理，得(4x-3)/4=3B4.解方程
（1）5(x-4)-7(7-x)-9=12-3(9-x)
解：5x-20-49+7x-9=12-27+3x
5x-3x+7x=12-27+20+49+9
9x=63
x=7（2）x-2［x-3(x-1)］=8
解： x-2［x-3x+3］=8
x-2x+6x-6=8
x-2x+6x=8+6
5x=14
x=2.85.某校组织学生春游，如果包租相同的大巴3辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，问春游的总人数是多少？
分析：本题若直接设总人数则较难列出方程，所以可以改设每辆大巴的座位数为x 较方便.
等量关系为：两种方案中的总人数相同.解：设每辆大巴的座位数为x人，根据题意列方程得
3x+14＝4x-26
解这个方程得x＝40
所以总人数为：3×40+14＝134（人）
答：春游的总人数是134人.6.某工人原计划用26天生产一批零件,工作两天后,因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务,问原来每天生产多少个零件?这批零件有多少个?
分析：本题利用“前2天的工作量＋后20天的工作量＝工作总量”来列等式，而“工作量＝工作效率×工作时间”解：设改进操作方法前每天生产零件x个，
根据题意，得
2x＋(26-2-4)(x＋5)＝26x
解得x＝25.
所以，这些零件有26×25＝650(个).
答：原来每天生产零件25个，这批零件有650个.7.一队学生去校外进行军事野营训练.他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍？分析：(1)细审题意：学生队伍出发18分钟后，通讯员才开始出发，并且与学生队伍同向而行.通讯员追上队伍时，通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等，但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍)，他们所走的路程是不同的，通讯员比学生队伍多走了5×18/60千米，设通讯员用x小时可以追上学生队伍(2)找等量关系：
追上学生队伍时，通讯员走的路程=学生队伍走的路程.
解：设通讯员用x小时可以追上学生队伍，
根据题意，得14x=5×18/60+5x.
解这个方程，得x=1/6(小时)=10(分钟)
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍.1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.课后作业科学的自负比起无知的自负来还只能算是谦虚。——斯宾塞
