2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：直线与圆的位置关系
切线的判断与性质：
例1.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）www.21-cn-jy.com
A． 20° B．25° C．40° D．50°
变式训练1.已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A． 2.5 B．3 C． 5 D．10
变式训练2.如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
变式训练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）21教育网
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
变式训练4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= www-2-1-cnjy-com
变式训练5.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5
直线与圆的位置关系的提升应用：
例2.已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF2·1·c·n·j·y
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
变式训练：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.21·cn·jy·com
例3.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，，垂足为D．21世纪教育网版权所有
（1）求证：；
（2）过点A作AE//PC交⊙O于点E，交CD于点F，
连接BE．若，，求BE的长．
变式训练：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB
(1) 求证：AT是⊙O的切线
(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.（1）求证：DF⊥AC；21cnjy.com
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.
变式训练1：如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。21·世纪*教育网
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。
变式训练2：已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝．设OP＝x，△CPF的面积为y．
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：直线与圆的位置关系答案
切线的判断与性质：
例1.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（ ）21cnjy.com
A． 20° B．25° C．40° D．50°
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°， ∴∠C=40°．
点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
变式训练1.已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A． 2.5 B．3 C． 5 D．10
解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．故本题选择C．
变式训练2.如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）21·cn·jy·com
A. B. C. D.
解：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，
即
∴⊙C的半径为，故本题选择B．
变式训练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）www.21-cn-jy.com
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
解：连接BD，
∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，
∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，故本题选择C．
变式训练4.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= www-2-1-cnjy-com
解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125．
变式训练5.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，
平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且
与y轴相切时，平移的距离为5．故本题选择B．
直线与圆的位置关系的提升应用：
例2.已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF21教育网
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。
证明：（1）连接FO, 易证OF∥AB
∵AC⊙O的直径, ∴CE⊥AE
∵OF∥AB, ∴OF⊥CE, ∴OF所在直线垂直平分CE, ∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE
∵Rt△ABC, ∴∠ACB＝90°, 即：∠0CE＋∠FCE＝90°, ∴∠0EC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°, ∴FE为⊙O的切线
（2）∵⊙O的半径为3, ∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE, ∴∠EOA＝60°, ∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3, ∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， CD＝，AC＝6 ∴AD＝
变式训练：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D. （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.2·1·c·n·j·y
解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，
∠ACB=90°， ∴AB=5cm．
连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB．
例3.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，，垂足为D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：；
（2）过点A作AE//PC交⊙O于点E，交CD于点F，
连接BE．若，，求BE的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，，∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，
∵CF=5，∴AF=5，
∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=， ∴sin∠FAD=，
在Rt△AFD中，AF﹣5，sin∠FAD=，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在Rt△OCD中，设OC=r，， ∴r=10， ∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD=，∴
∵AB=20， ∴BE=12．
变式训练：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB
(1) 求证：AT是⊙O的切线
(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值
证明：（1）∵AB=AT，∴∠ATB=∠B=45°，
∴∠BAT=90°，∴AT是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，延长TO交⊙O于D，连接AD.
∵CD是直径，∴∠CAD=∠BAT=90°，∴∠TAC=∠OAD=∠D.
又∠ATC=∠DTA，∴△TAC∽△TDA，∴，
∴TA2=TC·TD，即即4r2= TC(TC+2r), 解得TA=,
∴tan∠TAC= tan∠D===.
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.（1）求证：DF⊥AC；21·世纪*教育网
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.
解：（1）证明：如答图，连接OD，
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB.
∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD
∴DF⊥AC.
（2）如答图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°.
∵OA=OB，∴∠AOE=90°.
∵⊙O的半径为4，∴.
变式训练：如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。21世纪教育网版权所有
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。
解析：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC，
∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2=EC?DE，
∵AE=6，CD=5，∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF=x，OH=Y，FH=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，∴
即，①， ②，
①+②得：
①②得：
解得，
∵
变式训练2：已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝．设OP＝x，△CPF的面积为y．
(1)求证：AP＝OQ；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义
(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：直线与圆的位置关系作业
选择题：
1.如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）21·世纪*教育网
A．15° B．20° C．30° D．70°21教育网
2.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．20° B．25° C． 40° D．50°【版权所有：21教育】
3.如图，已知等腰，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD=5，CE=4，则⊙0的半径是（ ）21教育名师原创作品
A. 3 B. 4 C. D.
4.如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．90°21*cnjy*com
5．已知正三角形的内切圆半径为cm，则它的边长是（ ）
A. 2 cm B. cm C. cm D. cm
6.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．π B．2π C．3π D．5π
7.如图，AD、AE分别是⊙O的切线，D、E为切点，BC切⊙O于F,交AD、AE于点B、C，若AD=8.则三角形ABC的周长是（ ）
A. 8 B.10 C.16 D.不能确定
8.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC
9.如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．r B． C．2r D．
如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一
点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱
形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
填空题：
如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=
12.如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=
13.如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）。21世纪教育网版权所有
14.如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．2·1·c·n·j·y
一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．【来源：21·世纪·教育·网】
16.如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= ．2-1-c-n-j-y
17.如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当边AB或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ． 21*cnjy*com
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为 21cnjy.com
19.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=____
20.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是
三．解答题：
21.如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径； （2）cos∠BAC的值．【出处：21教育名师】
22.如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE． （1）求证：AE平分∠CAB； （2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．
23.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．21·cn·jy·com
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：直线与圆的位置关系作业答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
B
A
B
C
D
C
A
填空题：
12. 13. 45°（答案不唯一） 14. 15. 3
解答题：
21.解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴CA⊥PA， 即∠PAC=90°， ∵PC=10，PA=6，∴AC==8， ∴OA=AC=4，∴⊙O的半径为4； （2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线， ∴∠ABC=∠PAC=90°， ∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠BAC=∠P， 在Rt△PAC中，cos∠P=， ∴cos∠BAC=．21世纪教育网版权所有
22.（1）证明：连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC， ∵AB⊥BC，∴AB∥OE，∴∠2=∠AEO， ∵OA=OE，∴∠1=∠AEO，∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB； （2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=． ∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC， ∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°， 当AE=CE时，∠1=∠C， ∵2∠1+∠C=90° ∴3∠C=90°，∠C=30° ∴tanC=tan30°=．
23.解：（1）连接OC，如图1，
∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH，
∴h=OC?sin60°=OC，∴OC=，∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
此时FH=OF?sin∠FOH=OF=6，
则OF=，AB=2OF=．
