第三章 圆锥曲线的方程（含答案）--2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷

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第三章 圆锥曲线的方程 单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知双曲线的实轴长为1,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知椭圆的右焦点为F,过点F的直线交椭圆交于A,B两点,若的中点,且直线的倾斜角为,则此椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
3．已知,是抛物线上的两点,且直线AB经过C的焦点,若,则( )
A.12 B.14 C.16 D.18
4．已知双曲线的左右焦点分别为,,点P在双曲线的右支上,O为坐标原点,, QUOTE |OP|=12|F1F2| QUOTE ,则m的值为( )
A. B. C.1 D.2
5．已知双曲线的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6．若P为抛物线上一点，且P到焦点F的距离为9，则P到y轴的距离为( )
A.7 B.10 C.8 D.9
7．与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上
8．已知双曲线（,）的离心率为,左,右焦点分别为,,关于C的一条渐近线的对称点为P.若,则的面积为( )
A.2 B. C.3 D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆，则 B.若C为双曲线，则或
C.曲线C可能是圆 D.若C为双曲线，则焦距为定值
10．对于抛物线上,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为 B.开口向上,焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为
11．已知双曲线的右焦点为F，过点F作的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与出一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.
13．椭圆的离心率为,则实数________.
14．已知椭圆E的左焦点为F，E上关于原点对称的两点A、B满足，若的值为，则E的离心率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知的两个顶点A,B分别为椭圆的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式.
（1）求线段AB的长度;
（2）求顶点C的轨迹方程.
16．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
17．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)椭圆C的方程；
(2)设直线交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
18．已知椭圆的左 右焦点分别为,点M在椭圆上,,若的周长为6,面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于P点,设,试判断是否为定值？请说明理由.
19．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由题可知双曲线的实轴长为,则,解得,所以该双曲线的渐近线方程为.
故选:A.
2．答案：A
解析： , ,令,,则,
,, ,.
故选：A.
3．答案：C
解析：.
4．答案：B
解析：由题知,,所以,
因为,所以,
又,所以,,
所以由双曲线的定义可知,解得
故选:B.
5．答案：C
解析：由双曲线离心率为可得,即可得,
又,即可得;
由题意可得双曲线C的渐近线方程为.
故选：C.
6．答案：C
解析：根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线的距离，所以P到y轴的距离为.
7．答案：B
解析：设所求圆的半径为,圆心为M,
圆的圆心,半径,
圆化为标准方程得,则圆心,半径,
因为,所以两圆相离,
由题意可得,两式相减得,
所以圆心M在双曲线的一支上.
故选：B.
8．答案：D
解析：设与渐近线交于M,则,,,
所以,,
由O,M分别是与的中点,知且,
即,
由得,,所以,
9．答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故且，所以选项A错误；
若C为双曲线，则，故或，所以选项B正确；
若C为圆，则，故，所以选项C正确；
若C为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：由已知抛物线标准方程是,,,
所以焦点坐标为,开口方向向上,A正确,B错误;
焦点到准线的距离为,C正确;
准线方程是,D正确.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：不妨设C的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，则：.设，联立直线的方程与，可得，.同理可得点A的纵坐标为，因为，所以.因为，所以或.
12．答案：（答案不唯一）
解析：只要椭圆方程形如或即可.
故答案为：.（答案不唯一）.
13．答案：或
解析：因为椭圆的离心率为,当焦点在轴时,可知,,,
可得,解得.
当焦点在轴时,可知,,,
可得,解得.故答案为:或.
14．答案：或
解析：设是椭圆的右焦点，连接，，
依题意，根据椭圆的对称性可知四边形是矩形，
所以，，
根据椭圆的定义有，，，
在直角三角形中，，，
，.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析:（1）椭圆的方程为,
椭圆的方程为,,,,
,B分别为椭圆的左焦点和右焦点,
,,
,线段AB的长度;
（2）中根据正弦定理得:(R为外接圆半径),
,,,
,
,
.
C点的轨迹是以A,B为左右焦点的双曲线的右支,且不包含右顶点,
设该双曲线方程为
且,,
,,,
顶点C的轨迹方程为
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得，
解得：，，
椭圆C的方程为.
(2)设，.
联立，
得，
，，
，
解得.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）设椭圆C的焦距为,因为的周长为6,面积为,
所以,由①得：,将此式代入②得：,
所以,所以或
当时,,所以不满足题意；
当时,,所以满足题意.
所以椭圆C的方程为.
（2）由题可得直线斜率存在,由（1）知,设直线l的方程为,
则联立,消去y,整理得：,
设,则,
又,则,
由可得,所以,同理可得,
所以
所以为定值.
19．答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得，
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由，得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.
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