第一章 空间向量与立体几何（含答案）--2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（含答案）-

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第一章　空间向量与立体几何 单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设x,,向量,,且,,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．如图,在平行六面体中,设,,,则( )
A. B. C. D.
3．已知，，，若，则实数等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为( )
A. B.
C. D.
5．如图，在三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6．已知三棱柱的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则( )
A. B.2 C. D.
7．“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池,面ABCD,,底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,,则异面直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8．已知平行六面体中,,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,已知正方体的棱长为2,E,F分别为棱的中点,则下列结论正确的为( )
A. B.
C. D.不是平面的一个法向量
10．已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
11．如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是( )
A. B.
C. D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量为平面的法向量,点在内,则点到平面的距离为_____________.
13．已知，，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，点Q的坐标是______.
14．已知P是所在平面外一点，，且，则实数的值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在三棱柱中,M是的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量：
(1);
(2);
(3).
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点O，点P在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
17．如图，在正二棱柱中，D，E，F分别为，，的中点，，.
（1）证明：平面.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点.
（1）求证:平面PCD;
（2）求平面BPD与平面夹角的余弦值.
19．如图,在正四棱柱中,,,E、F分别为和的中点.
（1）证明：;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：,
,
.
故选：A.
2．答案：B
解析：连接,如图所示：
.
故选：B.
3．答案：C
解析：与不共线，
可取作此平面的一个基向量.
、、三向量共面，.存在实数，使得
.
解得
故选：C.
4．答案：B
解析：因为平面，所以，.因为，，，，所以空间的一个单位正交基底可以为.
5．答案：D
解析：.
6．答案：D
解析：依题意可得：
，
又M是的中点,
，
，
故选:D.
7．答案：C
解析：由底面扇环所对的圆心角为,的长度是长度的2倍,,所以可知,
设上底面圆心为,下底面圆心为O,连接,,,
以O为原点,分别以,,所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,
,
又异面直线所成角的范围为,
故异面直线与所成角的正弦值为．
故选：C.
8．答案：B
解析：
9．答案：BD
解析：以点D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
.
对于A选项,,,则,故A错误;
对于B选项,,则,故B正确;
对于C选项,,故,故C错误;
对于D选项,,故不是平面的一个法向量,故D正确.
故选：BD.
10．答案：BC
解析：对于A，当，时，m，n有可能异面，故A错误；
对于B，因为，，
所以m，n对应的方向向量，分别是，的法向量，
又，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，，由面面平行的性质易知，故C正确；
对于D，当，，时，m，n有可能异面，故D错误.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：对于A，设，平面平面ADC，而，，则有为二面角的平面角，即，则，故，，故A错误；
对于B，平面平面ADC，其交线为AD，又由，且CD含于面ADD，则面ABD，则有，故B正确；
对于C，同理可证，故C正确；
对于D，平面ADC与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直，故D错误；故选：BC.
12．答案：
解析：,0,,点P到平面的距离为.
故答案为：.
13．答案：
解析：设，因为，所以，所以点Q的坐标为.又，，
所以，
所以当时，取最小值，此时点Q的坐标为.
14．答案：0
解析：
又，
15．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）
（2）因为M是的中点,所以.又,所以,
所以.
（3）.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）平面平面，且两平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面的法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：因为D，F分别为，的中点，所以.
在正三棱柱中，
所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）取的中点O，连接.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，.
设平面的法向量为，
则
取，则
易知是平面的一个法向量，
所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在正方形ABCD中,,
又侧面底面ABCD,侧面底面,平面ABCD,
所以平面PAD,
又平面PAD,所以,
因为是正三角形,M是PD的中点,所以,
又,CD,平面PCD,所以平面PCD.
（2）取AD中点为O,BC中点为N,连接OP,ON,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,
则,,,,,
所以,.
设平面PBD的法向量为,则
由得
取,则,
由（1）知平面PCD的一个法向量为,
设平面BPD与平面PCD的夹角为,
则.
所以平面BPD与平面PCD夹角的余弦值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：在正四棱柱中,以点A为坐标原点,
AD、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为,,则、、、,
所以,.
因为,所以,即.
（2）由,得,设平面的法向量,
则,令,得,,即.
设直线与平面所成角的大小为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
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