湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 655.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-07 15:36:22 | ||
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文档简介
湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．已知向量，向量，若，则m等于( )
A. B. C. D.
3．某学校有高中学生3000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1050，1000，950.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( )
A.195 B.105 C.100 D.95
4．已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接，则( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. B. C. D.
6．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中为真命题是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为( )
（参考数据：，，，）
A.9064m3 B.9004m3 C.8944m3 D.8884m3
8．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A.A与B为对立事件 B.A与C互斥
C.B与C相互独立 D.A与C相互独立
二、多项选择题
9．某校1000名学生在高一模拟测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )
A. B.
C.70分以下的人数约为6人 D.本次考试的平均分约为93.6
10．如图所示，为了测量A，B两岛的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是( )
A.
B.A，D之间的距离为海里
C.B，D之间的距离为海里
D.A，B两岛间的距离为海里
11．正三棱柱的各棱长均相等，D是的中点，M，N是线段，
上的动点（含端点），且，当M，N运动时，下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.可能为直角三角形
D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角的范围是
三、填空题
12．在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是__________.
13．已知复数为纯虚数，则__________.
14．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，
，，则球O的表面积为__________.
四、解答题
15．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
①；②；③（i是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
16．全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
甲单位 87 88 91 91 93
乙单位 85 89 91 92 93
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC中点，平面，，M为PD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
18．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域C、D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A、B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明对落点在A、B上的来球回球的得分为0分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.
19．已知G点为的重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且
（i），求实数m的值；
（ii），求实数的值.
参考答案
1．答案：D
解析：复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D
2．答案：C
解析：因为向量，向量，且，所以，解得，
故选C
3．答案：B
解析：采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
则应抽取高一年级学生的人数为：.
故选：B.
4．答案：B
解析：
；
故选B.
5．答案：A
解析：甲、乙两个人进行"剪子、包袱、锤"的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 锤 剪子 包袱
锤
剪子
包袱
由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种：、、，
甲和乙平局的概率为：.
故选：A
6．答案：D
解析：A.n可能在内，故A为假命题；
B.m也可能与相交或与平行，故B为假命题；
C.m与n可能平行，故C为假命题；
D.，，则或，若，则由得；若，则内有直线，易知，，故D为真命题.
故选：D.
7．答案：A
解析：由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台另一个底面的半径为，则，，，所以.
故选A
8．答案：D
解析：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：
①有1门相同，②2门都相同，③2门都不相同，A与B互斥不对立，A与C不互斥，故A，B均错误；
，，，，，，，
A与C相互独立，B与C不相互独立，故C错误，D正确。
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A，，A正确；
对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，
所以，B错误；
对于C，70分以下的人数为，C错误；
对于D，平均成绩，D正确，故选：AD.
10．答案：ABD
解析：由题意可得，
，，，
故A正确；
在中，由正弦定理可得，即，
解得，故B正确；
在中，由，可得，，故C错误；
在中，由余弦定理可得
即，解得，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A：当M、N分别在、上运动时，若满足，
则线段必过正方形的中心O，而平面，
平面平面，故A正确；
对于B：当M、N分别在、上运动时，的面积不变，N到平面的距离不变，
棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C：若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长大于，不可能为直角三角形，故C错误；
对于D：当M、N分别为，中点时，平面与平面所成的角为0，当M与B重合，N与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为，等于，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：12
解析：因为，则第50百分位数为.
故答案为：12.
13．答案：，
解析：
复数z为纯虚数，，解得.
，
则
故答案为：.
14．答案：
解析：三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，
，，，，
根据勾股定理易得，，又，
平面，
设底面三角形的外接圆的半径为r，球O的半径为，
易知，
，，
，
球O的表面积为.
故答案为：.
15．答案：（1）i；
（2）证明见解析
解析：（1）选①：，
选②：，
选③：.
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：
（且a，b不同时为零），
下面进行证明：
要证：，只需证：，
，成立.
（或直接利用复数的乘除运算得出结果）
16．答案：（1），，，；
甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）
解析：（1），，
，
，
显然，，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好.
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的基本事件为，，，，，共5个.
由古典概型计算公式可知.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：连接，
为平行四边形，且O为AC中点
O也为BD中点
M为PD的中点
又平面，
平面
平面.
（2）取OD中点，连结，，则
为AM与平面ABCD所成角
，
为等腰直角
在中，易得：，
直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
（注：如有其它解法请酌情给分.）
18．答案：（1）；；
（2）；
（3）可能的取值为0，1，2，3，4，6；答案见解析
解析：（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
记为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，.
（2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
，
小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（3）由题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6
由事件的独立性和互斥性，得：
，
，
，
，
，
.
19．答案：（1）；
（2）（i）；（ii）
解析：（1）由，即，
得，
G点为的重心
，解得：.
（2）如图，连接，并延长交AB于点D，G点为的重心，则D为AB的中点，由得，
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
，，
，，
即，；
（ii）又，
.
（注：如有其它解法请酌情给分.）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．已知向量，向量，若，则m等于( )
A. B. C. D.
3．某学校有高中学生3000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1050，1000，950.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( )
A.195 B.105 C.100 D.95
4．已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接，则( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. B. C. D.
6．对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中为真命题是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为( )
（参考数据：，，，）
A.9064m3 B.9004m3 C.8944m3 D.8884m3
8．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A.A与B为对立事件 B.A与C互斥
C.B与C相互独立 D.A与C相互独立
二、多项选择题
9．某校1000名学生在高一模拟测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则( )
A. B.
C.70分以下的人数约为6人 D.本次考试的平均分约为93.6
10．如图所示，为了测量A，B两岛的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是( )
A.
B.A，D之间的距离为海里
C.B，D之间的距离为海里
D.A，B两岛间的距离为海里
11．正三棱柱的各棱长均相等，D是的中点，M，N是线段，
上的动点（含端点），且，当M，N运动时，下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积为定值
C.可能为直角三角形
D.平面DMN与平面ABC所成的锐二面角的范围是
三、填空题
12．在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是__________.
13．已知复数为纯虚数，则__________.
14．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，
，，则球O的表面积为__________.
四、解答题
15．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
①；②；③（i是虚数单位）.
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.
16．全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：
甲单位 87 88 91 91 93
乙单位 85 89 91 92 93
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC中点，平面，，M为PD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
18．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域C、D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A、B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（1）小明对落点在A、B上的来球回球的得分为0分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率.
19．已知G点为的重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且
（i），求实数m的值；
（ii），求实数的值.
参考答案
1．答案：D
解析：复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D
2．答案：C
解析：因为向量，向量，且，所以，解得，
故选C
3．答案：B
解析：采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
则应抽取高一年级学生的人数为：.
故选：B.
4．答案：B
解析：
；
故选B.
5．答案：A
解析：甲、乙两个人进行"剪子、包袱、锤"的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 锤 剪子 包袱
锤
剪子
包袱
由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种：、、，
甲和乙平局的概率为：.
故选：A
6．答案：D
解析：A.n可能在内，故A为假命题；
B.m也可能与相交或与平行，故B为假命题；
C.m与n可能平行，故C为假命题；
D.，，则或，若，则由得；若，则内有直线，易知，，故D为真命题.
故选：D.
7．答案：A
解析：由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台另一个底面的半径为，则，，，所以.
故选A
8．答案：D
解析：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：
①有1门相同，②2门都相同，③2门都不相同，A与B互斥不对立，A与C不互斥，故A，B均错误；
，，，，，，，
A与C相互独立，B与C不相互独立，故C错误，D正确。
故选：D.
9．答案：AD
解析：对于A，，A正确；
对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，
所以，B错误；
对于C，70分以下的人数为，C错误；
对于D，平均成绩，D正确，故选：AD.
10．答案：ABD
解析：由题意可得，
，，，
故A正确；
在中，由正弦定理可得，即，
解得，故B正确；
在中，由，可得，，故C错误；
在中，由余弦定理可得
即，解得，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A：当M、N分别在、上运动时，若满足，
则线段必过正方形的中心O，而平面，
平面平面，故A正确；
对于B：当M、N分别在、上运动时，的面积不变，N到平面的距离不变，
棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C：若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长大于，不可能为直角三角形，故C错误；
对于D：当M、N分别为，中点时，平面与平面所成的角为0，当M与B重合，N与重合时，平面与平面所成的锐二面角最大，为，等于，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：12
解析：因为，则第50百分位数为.
故答案为：12.
13．答案：，
解析：
复数z为纯虚数，，解得.
，
则
故答案为：.
14．答案：
解析：三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，
，，，，
根据勾股定理易得，，又，
平面，
设底面三角形的外接圆的半径为r，球O的半径为，
易知，
，，
，
球O的表面积为.
故答案为：.
15．答案：（1）i；
（2）证明见解析
解析：（1）选①：，
选②：，
选③：.
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到：
（且a，b不同时为零），
下面进行证明：
要证：，只需证：，
，成立.
（或直接利用复数的乘除运算得出结果）
16．答案：（1），，，；
甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
（2）
解析：（1），，
，
，
显然，，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好.
（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的基本事件为，，，，，共5个.
由古典概型计算公式可知.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：连接，
为平行四边形，且O为AC中点
O也为BD中点
M为PD的中点
又平面，
平面
平面.
（2）取OD中点，连结，，则
为AM与平面ABCD所成角
，
为等腰直角
在中，易得：，
直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
（注：如有其它解法请酌情给分.）
18．答案：（1）；；
（2）；
（3）可能的取值为0，1，2，3，4，6；答案见解析
解析：（1）记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（），
则，，；
记为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（），
则，，.
（2）记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
，
小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（3）由题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6
由事件的独立性和互斥性，得：
，
，
，
，
，
.
19．答案：（1）；
（2）（i）；（ii）
解析：（1）由，即，
得，
G点为的重心
，解得：.
（2）如图，连接，并延长交AB于点D，G点为的重心，则D为AB的中点，由得，
（i）由重心的性质得，在，中，
由余弦定理得，
，
，，
，，
即，；
（ii）又，
.
（注：如有其它解法请酌情给分.）
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