江苏省南京市燕子矶中学2023-2024学年高二下学期期初数学试卷（含解析）

江苏省南京市燕子矶中学2023-2024学年高二下学期期初数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列1,,,的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
2．圆和圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3．某校文艺部有7名同学,其中高一年级3名,高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演,则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )
A.12 B.30 C.34 D.60
4．已知F是抛物线的焦点,点在C上,则( )
A. B. C. D.
5．设是等比数列的前n项和,若,,则( )
A.48 B.90 C.96 D.162
6．已知椭圆,直线l经过点与C交于A,B两点.若T是线段的中点,则l的方程为( )
A. B. C. D.
7．已知平行六面体中,,,,则( )
A. B. C. D.
8．已知F是双曲线的右焦点,直线与C交于A,B两点.若的周长为7a,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列等式中，正确的是( )
A. B. C. D.
10．已知曲线，则( )
A.E关于原点对称 B.E关于x轴对称
C.E关于直线对称 D.为E的一个顶点
11．已知正方体的棱长为2,P,Q分别是棱,的中点,则( )
A. B.是平面的一个法向量
C.,共面 D.点Q到平面的距离为
12．已知数列中,,.在和之间插入1个数,和之间插入2个数,,和之间插入n个数,,使得构成的新数列是等差数列,则( )
A.的公差为6
B.和之间插入的2个数是19和25
C.
D.
三、填空题
13．直线经过的定点坐标为__________.
14．写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为______________.
①实轴长为4;
②渐近线方程为
15．第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开,某记者与参会的5名代表一起合影留念（6人站成一排）.若记者不站两端,且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有________种.
16．已知圆,A,B是C上的两个动点,且.设,,则的最大值为________________.
四、解答题
17．记为数列的前n项和.
(1)若为等差数列,且,,,求m的最小值;
(2)若为等比数列,且,,求的值.
18．如图,在正四棱柱中,,,E、F分别为和的中点.
（1）证明：;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中,已知直线l经过抛物线的焦点,与C交于M,N两点,与C的准线交于点P.
(1)求的值;
(2)若,,成等差数列,求.
20．如图,在四棱锥中,平面,,,,.
(1)求二面角的正弦值;
(2)在棱上确定一点E,使异面直线与所成角的大小为,并求此时点E到平面的距离.
21．已知数列满足,,数列的前n项和满足.
(1)求,的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和
22．已知椭圆的左 右焦点分别为,,过点作不与坐标轴垂直的直线交C于A,B两点,点M的坐标为.
(1)证明：;
(2)设点B关于x轴的对称点为,求的面积的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：当时,,故排除D,当时,,故排除BC,经检验A选项符合题意.
故选：A.
2．答案：C
解析：易知圆和圆的圆心与半径分别为：,和,,所以圆心距为,显然,即两圆相外切.
故选：C.
3．答案：B
解析：由题意共分两种情况：①高一年级选1人,高二年级选2人,共有种选法;
②高一年级选2人,高二年级选1人,共有种选法;
由分类计数原理可得共有种选法.
故选：B.
4．答案：C
解析：由已知,,所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：设等比数列的公比为q,
当时,,,无解不合题意;
当时,,解得,
.
故选：B.
6．答案：D
解析：设点、,则,
因为,两式作差得,即,
即,所以,
因此直线l的方程为,即.
故选：D.
7．答案：B
解析：
8．答案：A
解析：记双曲线左焦点为,
将代入解得,所以,
由对称性可知,,所以①,
又的周长为7a,所以②,
联立①②求解可得,,
记AF的中点为D,则,
所以,即,得,
所以.
故选:A
9．答案：BCD
解析：对于A，，，A错；
对于B，，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，，
，D正确.
故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：A：用和同时替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确；
B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故曲线E不关于x轴对称，故B错误；
C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故曲线E关于直线对称，故C正确；
D：由C选项得曲线E关于直线对称，
解
得或
所以是E的一个顶点，故D正确.故选ACD.
11．答案：BC
解析：如图所示建立空间直角坐标系,易知,,,,
,,,,
对于A项,有,,显然,
即不成立,故A错误;
对于B项,有,,易得,,
即是平面的一个法向量,故B正确;
对于C项,有,,,
易知,所以,,共面,故C正确;
对于D项,有,,,
设平面的一个法向量为,则,
取,,即,
故点Q到平面的距离,故D错误.
故选：BC.
12．答案：ABD
解析：在和之间插入1个数,和之间插入2个数,
在和之间插入3个数,
所以,,
设等差数列的公差为d,所以,故A正确;
因为,
和之间插入的2个数是,,,,
故B正确;
由题意可得前共插入个数,加上,,,,,
则为等差数列的第21项,所以,故C错误;
对于D,因为,,,,,
所以,,,
所以数列与满足,
,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：
14．答案：或
解析：当双曲线焦点在x轴上时,由题意可知:,,此时双曲线标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时,由题意可知：,,此时双曲线标准方程为.
故答案为：或
15．答案：144
解析：只考虑代表甲与代表乙相邻,只需将这两人捆绑,与剩余4人进行排序,
共有种不同的排法,
若记者站两端中的某个位置,且代表甲与代表乙相邻,则记者有2种站法,
然后将代表甲与代表乙捆绑,与剩余3人进行排序,此时不同的站法种数为种,
因此,若记者不站两端,且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.
故答案为：144.
16．答案：
解析：由题意得,半径为,
由垂径定理得,则,解得,
故点M的轨迹为以C为圆心,半径为2的圆,
故点M的轨迹方程为
可看作点A到直线的距离,
同理,可看作点B到直线的距离,
设线段的中点为M,
故可看作点M到直线的距离,
点M的轨迹方程为,
故点M到直线的距离最大值为圆心到的距离加上半径,
即,故,
所以,故最大值为,
故答案为：
17．答案：(1)7
(2)2
解析：(1)设的公差为d,
由条件可得,解得,
由,解得或,
且,所以m的最小值为7.
(2)设的公比为q,
由条件可得,即,解得,
则,
所以.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：在正四棱柱中,以点A为坐标原点,
AD、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为,,则、、、,
所以,.
因为,所以,即.
（2）由,得,设平面的法向量,
则,令,得,,即.
设直线与平面所成角的大小为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)-12
(2)16
解析：(1)因为抛物线C的焦点为,
所以,即
所以C的方程为.
因为l与与C交于M,N两点,所以其斜率存在,
设直线l的方程为,
由,消y得,
易知,设,,则.
又,,所以,
所以.
(2)因为,,成等差数列,所以,
且,即,
即,
又,解得,
由,解得.
所以.
20．答案：(1)
(2),
解析：(1)以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,,
所以,,,
则,,.
设平面的法向量,
则,取得,
设平面的法向量,
则,取得,
设二面角的大小为,
则,
所以.
(2)设,
则.
因为异面直线与所成角的大小为,
所以,解得或（舍去）.
此时,
所以点E到平面的距离.
21．答案：(1),
(2)
解析：(1)由,得.
因为,所以,
所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
所以,即.
当时,由,解得：
当时,由,①
得,②
①-②,得,
即,
即.
所以,
所以,
因为符合上式,所以.
(2)由(1)知,.
所以③
所以,④
③-④,得,
所以.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由题意,,.
设直线l的方程为,
由,消y得,
设,,
则,,
要证,
即证直线,的斜率之和,
因为,
而
所以得证,
所以,的倾斜角互补,即.
(2)由(1)及椭圆的对称性可知,直线经过点,
设直线的方程为,
由消y得.
设,,
则
且,即.
所以
所以.
又点到直线的距离为,
所以的面积
设,则,且.
当,即时,面积的最大值为.