九年级数学上册 21.5 反比例函数 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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21.5 反比例函数 导学案
（一）学习目标：
1.理解并掌握反比例函数的概念.
2.能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数关系.
3.根据实际问题建立并列出反比例函数关系式.
（二）学习重难点：
重点：反比例函数的概念的理解.
难点：根据实际问题建立并列出反比例函数关系式.
阅读课本，识记知识：
1. 反比例函数的定义
一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例函数 （）
的 符号
图像
性质 ①的取值范围是，y的取值范围是 ②当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 ①的取值范围是，y的取值范围是 ②当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。
☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，
则
反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。
双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。
【例1】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【答案】C
【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．
【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；
B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意；
C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；
D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．
【例2】 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，，的值，即可解答．
【详解】解：当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
，
故选：C．
【点睛】本题考查了由反比例函数求自变量的值，求出，，的值是解题的关键．
选择题
1.如下列关系式中，表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数为反比例函数，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3.下列函数中,为反比例函数的是 (　　)
A.y=-x　　　B.y=　　　C.y=　　　D.y=5x-1
4.某小区要种植一个面积为3 500 m2的矩形草坪,已知草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化,则y与x的函数关系式为 (　　)
A.xy=3 000　　　B.x=3 500y　　C.y=　　　D.y=
5.双曲线要经过点，则m的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
6．下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　）
A．被除数（不为零）一定，除数与商
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
7.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式 的值为( )
A．3 B． C． D．
8．在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
9.若点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴正半轴上，点B、C在反比例函数的图象上，若的面积等于6，且，则k的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
填空题
11．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小；
②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大；
④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
12．若函数是反比例函数，则的值为 ．
13．点在反函数的图象上，则 ．
14．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
15．如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为 ．

三、解答题
16．已知是反比例函数，求m的值．
17.已知反比例函数图像经过一、三象限．
(1)判断点在第几象限；
(2)若点，是反比例函数图像上的两点，试比较，，的大小关系；
(3)已知，且满足当时，函数的最大值是；设反比例函数，当时，函数的最小值是，求为何值时，．
18．如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线的水平距离为x．
(1)请求出滑道段y与x之间的函数关系式；
(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于，，求长度的取值范围．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.C
【分析】根据反比例函数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是正比例函数，故本选项错误；
B、，分母中的x的指数是2，所以不是的反比例函数，故本选项错误；
C、，y是x的反比例函数，故本选项正确；
D、，不是的反比例函数，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记正比例函数，反比例函数以及一次函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大．
2.D
【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可．
【详解】解：是反比例函数，
解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．
3.【答案】　D　
【分析】y=-x是一次函数,y=是一次函数,y=不是反比例函数,y=5x-1=是反比例函数.故选D.
4.【答案】　C　
【分析】由矩形的面积公式可得xy=3 500,∴y=.故选C.
5．D
【分析】直接把点代入函数解析式即可求得的值．
【详解】解：将代入双曲线得，
，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
6．A
【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可．
【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意；
B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意；
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意；
D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．
7．D
【分析】把点 分别代入 与 中， 得 ， 进而求解即可．
【详解】解：函数与的图象交于点，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
8．B
【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．
【详解】解：当时，反比例函数的图像经过一、三象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；
当时，反比例函数的图像经过二、四象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论．
9．B
【分析】根据解析式，将自变量值代入解析式求函数值比较．
【详解】解：由题知，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，求函数值，理解根据解析式求函数值是解题的关键．
10.B
【分析】先证明C是的中点，设点A的坐标是，点B的坐标是．则，点C的坐标是，然后根据点C在反比例函数上，则，再根据三角形的面积公式可得，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴点C是的中点，
设点A的坐标是，点B的坐标是．则．
∴点C的坐标是，
∵点C在反比例函数上，
∴，即，．
∵的面积等于6，
∴，即，
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，正确设出未知数，转化为k的关系是关键．
11.②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x 1 2
y 3 3 5
描点、连线，图象如下，

根据图象知：
①当时，x越小，函数值越大，错误；
②当时，x越大，函数值越小，正确；
③当时，x越小，函数值越大，正确；
④当时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．
12．
【分析】根据反比例函数的定义：，列式计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数定义．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．
13．/0.5
【分析】直接将点代入即可求出的值．
【详解】解：∵点在反函数的图像上，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．理解函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14．
【分析】反比例函数图象上的点的横纵坐标的积为定值，由此可解．
【详解】解：反比例函数的图像经过点和点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积为定值．
15．//
【分析】反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，得出，作轴于，设，并且是由绕点顺时针旋转得到的，则，从而，可证出是等腰直角三角形，得的坐标，代入从而得出的值，进而求得的长度，利用三角形面积公式解决问题．
【详解】解：设反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
作轴于，是由绕点顺时针旋转得到的，
∴点K在原反比例函数图象上．
设，
，
∴，
过点作轴于，轴，

是等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
解得或（舍，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
16．
【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【详解】解：由题意得：且，；
解得，又；
．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．
17.(1)第四象限
(2)
(3)
【分析】（1）由反比例函数图像经过一三象限确定的取值范围，从而判断点所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时的值，从而列方程求解．
【详解】（1）解：反比例函数图像经过一、三象限，
，
，
点在第四象限；
（2）反比例函数图像经过一、三象限，
在每一象限内随的增大而减小，
点，在反比例函数图像上，
且，两点在第一象限，可得，
，
解得：，
，，的大小关系为：；
（3）反比例函数图像经过一、三象限，
在每一象限内随的增大而减小，
，
反比例函数位于第二、四象限，
在每一象限内随的增大而增大，
，且满足当时，函数的最大值是，当时，函数的最小值是，
当时，，
当时，，
，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时，代入中，，
，，
若，
，
解得：，
经检验是原方程的解集，
当时，．
【点睛】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
18．(1)滑道段y与x之间函数关系式为
(2)滑行者距滑道起点的水平距离为米
(3)
【分析】（1）由B在双曲线上，且根据题意，得到，由B为抛物线的最高点，可设抛物线的解析式为，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，得到点D的坐标为，把代入得，，解得，即可得到抛物线的解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．
【详解】（1）解：B在双曲线上，且根据题意，
∴，
∵B为抛物线的最高点，
则设抛物线的解析式为，
∵滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
解得，
∴滑道段y与x之间函数关系式为；
（2）令上式时，则，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
将代入中得，
∴，
∴，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；
（3）解： 根据上面所得，
当时，，
此时，
则D点不可往左，可往右，的最小值为8，
又∵，
∴，
∴．
∴长度的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的实际应用，用到了待定系数法求二次函数解析式、求函数图象上点的坐标等知识，数形结合是解题的关键．
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