4.4 课时1 两角相等 课件 (共16张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共16张PPT)
4.4 课时1 两角相等
掌握相似三角形的定义
经历两三角形相似条件的探索过程，掌握两三角形相似的判定条件：两角分别相等的两个三角形相似
你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
记作_______________.
注意：对应顶点写在对应位置
△ABC ∽ △DEF
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角 _____，对应边______ .
相等
成比例
∵△ABC∽△DEF
∴
思考1：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？
分组进行如下操作：分别画出一个三角形，使得其中一个角等于∠α，裁剪下来对比是否相似．
α
α
思考2：两个人合作，分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，思考：
(1)此时，∠C 与∠C ′相等吗？
(2)三边的比，，相等吗？
(3)这样的两个三角形相似吗？
改变∠α，∠β的大小，再试一试．
α
B
C
A
β
A′
B ′
C ′
α
β
根据上述思考2，可以得出如下结论：
(1) 这样的两个三角形不一定全等；
(2) 两个三角形三个角都对应相等；
(3) 通过度量后计算，得到三边对应成比例；
(4) 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．
α
B
C
A
β
A′
B′
C′
α
β
猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
试证明△A′B′C′∽△ABC.
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ ∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．
∴ DE = CF.∴
证明：在 △ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交 AC 于点E，则
A′
A
E
1
2
B′
C′
B
C
F
D
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B '，
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C ' .
三角形相似的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似．
几何语言：
如图，在△ABC 和△DEF 中，
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△DEF．
注意：表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
例1.如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7, AD=5, DE=10, 求BC的长.
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴∴BC=14.
练：如图，已知△AB C∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
(2)求∠AED的度数和DE的长.
解：（1）△ABC与△ADE的相似比为 = =2.
（2）∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠C=70°.
∵△ ABC∽△ADE，∴∠AED= ∠C=70° .
∵△ABC∽△ADE，∴= .
又∵ AB=6，BC=6，AD=3，∴= ，解得DE=3.
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　)
A．1对　　　　 B．2对 C．3对 D．4对
C
2.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A.△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o，△A' B' C' 中，∠A' ＝118 o，∠B' ＝15 o
B.△ABC中，AB=8，AC=4, ∠A＝105 o，△A' B' C' 中，A' B' ＝16，B' C' ＝8，∠A`＝100o
C.△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A' B' C' 中，A' B' ＝36，B' C' ＝40，C' A' ＝70
D.△ABC和△A' B' C' 中，有，∠C＝∠C' 。
C
3．已知△ABC中, AB＝AC, ∠A＝36°, BD是角平分线.
求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°．
在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，
∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC．
本节课你学到了什么？
探索三角形相似的条件
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用