4.3 相似多边形 课件 (共19张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共19张PPT)
4.3 相似多边形
1.认识相似图形和相似多边形.
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.
3.掌握相似多边形的性质,能根据性质进行相关的计算.
放大镜下的图形和原来的图形有什么相同与不同吗？
相等.
放大镜下的角与原图形中角是什么关系？
边数不同
角不相等
边成比例
角相等
边不成比例
边成比例
角相等
不相似
不相似
不相似
相似
形状相同的图形叫做相似图形.
小组合作，尝试归纳出相似多边形的概念.
各角分别_______、各边_________的两个多边形叫做相似多边形.
相等
成比例
1.相似多边形：
如图，五边形ABCDE和五边形A′B′C′D′E′形状相同，大小不同.
对应边的比相等： .
对应角相等：, , ,
,
五边形ABCDE 和五边形A′B′C′D′E′相似.
记作： 五边形ABCDE ∽五边形A′B′C′D′E′ ，“∽”读作“相似于”.
观察下列图形，图形（a）~（d）中，与（1）是相似多边形的是哪个？
1.5
3
（c）
边数不同
3
3
（1）
2
2
（b）
（a）
2
2
2
2
（d）
边不成比例
对应角不相等
注意：
两个多边形相似满足的条件：
(1)边数相同；
(2)角分别相等；
(3)边成比例.
以上三者缺一不可.
2.相似比：
相似多边形______________叫做相似比.
对应边的比
3
3
2
2
D1
C1
B1
A1
D
B
C
A
如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的相似比为 .
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.
(2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形.
思考：正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的相似比是多少？
3.相似多边形的性质：
相似多边形的_______________，__________________.
对应角相等
对应边的比相等
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．
利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．
需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．
【例1】 下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A.正方形和矩形 B.正方形和菱形
C.菱形和菱形 D.正方形与正方形
D
A.不一定相似
B.不一定相似
C.不一定相似
D.一定相似
′
′
′
′
【例2】已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，
A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；
(2)求A′B′和BC的长；
(3)求∠D′的大小．
解 ：(1)相似比k＝
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝
∴ ∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
【例2】已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，
A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；
(2)求A′B′和BC的长；
(3)求∠D′的大小．
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°. ∴∠D′＝120°.
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？
它们的各边可能对应成比例吗？
观察下面两组图形，图中的两个图形相似吗？为什么？
10
10
8
16
10
10
12
12
不相似
不相似
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等，它们的各边可能对应成比例.
【例3】如图所示，一块长为2米，宽为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
解：不相似. 由条件知， ，，所以.
所以两个矩形不相似．
应用一：判定两个多边形相似
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
【例4】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长．
【分析】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，则四边形A′B′C′D′的各边A′B′∶B′C′∶C′D′∶D′A′＝20∶15∶9∶8，再根据周长是26，即可求得各边长．
解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴A′B′∶B′C′∶C′D′∶D′A′＝AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8.
设A′B′＝20x，则B′C′＝15x，C′D′＝9x，D′A′＝8x.
∵四边形A′B′C′D′的周长为26，∴20x＋15x＋9x＋8x＝26.解得x＝0.5，
∴A′B′＝10，B′C′＝7.5，C′D′＝4.5，D′A′＝4.
【例4】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长．
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
1.两个多边形相似的条件是（　　）
A．对应角相等 B．对应边成比例
C．对应角相等或对应边成比例 D．对应角相等且对应边成比例
D
2.下列命题中，正确的是（ ）
A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的直角三角形都相似
C. 所有的等边三角形都相似 D. 所有的矩形都相似
C
3.如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）
A．87° B．60° C．75° D．120°
A
解：∵两个四边形相似，
∴∠1=138°.
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α=360°﹣60°﹣75°﹣138°=87°，故选A．
4.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD的中点，试判断四边形ABCD与A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
解：相似．其理由是：
由三角形中位线定理可知. ∠B′A′D′＝∠BAD，∠A′D′C′＝∠ADC，
∠D′C′B′＝∠DCB，∠A′B′C′＝∠ABC，
∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
相似比与叙述的顺序有关.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.