4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共21张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共21张PPT)
4.5 相似三角形判定定理的证明
1.理解并掌握相似三角形判定定理的证明.
2.能综合利用相似三角形的判断定理判定两个三角形相似并解决问题.
判定两个三角形相似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
A
B
C
A′
B′
C′
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
F
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C
∴△ADE∽△ABC
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A′
B′
C′
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
∵∠A =∠A′ ，
∴△ABC∽△A′B′C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠B＝∠ADE，
∠C＝∠AED，
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△ADE
（两角分别相等的两个三角形相似）
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠A＝∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
几何语言：
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？
定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．
例.如图，正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，且BM=BN,BP⊥MC于点P.求证： PCD∽ PBN
证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠ ABC=∠BCD=90° ，BP⊥MC
∴∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠ PMC.
∴△BPM∽△CPB.
∴=.
又BM=BN,CB=CD，∴=.
又∵∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB =90°
∴∠PBC=∠PCD. ∴△PBN∽△PCD.
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为(　 　)
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9　
2．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(　 　)
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
B
D
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．
4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或