4.4 课时2 两边成比例且夹角相等 课件 (共15张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共15张PPT)
4.4 课时2 两边成比例且夹角相等
1.理解并掌握相似三角形的判定定理2.
2.能利用相似三角形的判断定理2判定两个三角形相似并解决问题.
如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°， AD⊥BC，垂足为 D.
(1) 请指出图中所有的相似三角形；
(2) 你能得出 AD2 = BD·DC 吗？
(1) △ABD∽△ACD∽△CBA；
(2) ∵△ABD∽△ACD，
∴ ，
即 AD2 = BD·DC
已知△ABC 与△A′B′C′，其中 ，这两个三角形一定相似吗？与同伴交流.
不一定相似
A
C
B
A′
C′
B′
如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？
我们先来考虑增加一角相等的情况.
思考：增加一角相等的情况，可分为几种情况呢？
① 相等的角是其中一边的对角；
② 相等的角是两边的夹角.
1. 画△ABC 与△A′B′C′，使∠A =∠A′ = 60°， 和 都等于给定的值 k = 2 ( k > 0 ). 设法比较∠B 与∠B′ 的大小(或∠C 与∠C′ ). △ABC 和△A′B′C′ 相似吗？改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
A
C
B
A′
C′
B′
如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，已知∠A =∠A′ = 60°， = 2.
求证：△ABC ∽△A′B′C′.
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB. 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵DE∥B′C′，
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴ .
∵ A′D=AB， ，
∴ .
∴A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴△A′DE ≌△ABC ( SAS )，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
A
C
B'
A'
C'
如右图，在△ABC 与 △A′B′C′中
例1 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点. AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长.
A
E
D
C
B
解：∵AE = 1.5，AC = 2，
∴
∵
∴
又∵ ∠EAD =∠CAB，
∴ △EAD∽△CAB ( 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ) .
∴
∵ BC = 3，∴
A
E
D
C
B
例2 如果△ABC 与△A′B′C′ 两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出如图所示的三角形，你能得到什么结论？
4 cm
3.2 cm
2 cm
1.6 cm
50°
50°
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
温馨提示
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
1. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
P
P
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，
∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ，
∴6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.
∴当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
4 或 9
这节课我们学习了哪些知识？
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∠B=∠B '
∴ △ABC∽△A ' B ' C '
∵ 在△ABC与△A ' B ' C ' 中
A
B
C
A '
B '
C '