4.7 课时2 相似三角形的周长、面积比 课件 (共18张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共18张PPT)
4.7 课时2 相似三角形的
周长、面积比
1．理解并初步掌握相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系．
2．会运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是 .
(2) 如果△ABC 的周长是 9cm，那么△A′B′C′ 的周长是 .
(3) 如果 S△ABC = 3cm2，那么△A′B′C′ 的面积是 .


我们发现，还不能有相似比确定相似三角形的周长比与面积比，这节课我们就来探究一下.
例1 已知：如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为 2.
(1) 请你写出图中所有成比例的线段；
解：(1) = = = 2 .
C
A
B
C′
A′
B′
(2) △ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
解：(2) ∵ = = = 2 ，
∴ = = 2，即△ABC 与△A'B'C' 的周长比为 2.
分别过点 C 与 C′ 作△ABC 和△A′B′C′ 的高 CD，C′D′，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴ = = 2 .
∴ = 2×2 = 4.
C
A
B
C′
A′
B′
D
D′
由已知，得 = = = k，
∴ = = k.
分别过点 C 与 C′ 作△ABC 和△A′B′C′ 的高 CD，C′D′.
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ = = k ( 相似三角形对应高的比等于相似比 ).
∴ = k2.
(3) 若相似比为 k ( k > 0 )，你能求 △ABC 与△A′B′C′ 的周长比和面积比吗？
C
A
B
C′
A′
B′
D
D′
定理：相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如果是四边形呢？你能通过类比得出四边形的结论吗？
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
∴ = = = = k .
∴ = k .
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k .
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(2) 连接相应的对角线 BD，B′D′，所得的△BCD 与△B′C′D′ 相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(2) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
∴ = = k .
∴△BCD 与△B′C′D′ 各边均成比例 .
∴△BCD ∽△B′C′D′.
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，S△A′B′D′，S△BCD，S△B′C′D′，则 ， 各是多少？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，且相似比都为 k.
∴ 与 都是 k2.
例2 如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(4) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
A
B
D
C
A′
B′
D′
C′
解：(4) ∵ 与 都是 k2，
又∵S四边形 ABCD = S△ABD + S△BCD，
S四边形 A′B′C′D′ = S△A′B′D′ + S△B′C′D′ ，
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 k2.
换成五边形，结论一样.
归纳总结
相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是 .
(2) 如果△ABC 的周长是 9cm，那么△A′B′C′ 的周长是 .
(3) 如果 S△ABC = 3cm2，那么△A′B′C′ 的面积是 .
问题回顾：
18 cm
12 cm2
1. 判断正误：
(1) 如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的 10 倍，那么它的周长也扩大为原来的 10 倍. ( )
(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边的长都扩大为原来的 9 倍 . ( )
√
×
2. 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 = = ，求四边形 BCDE 的面积.
B
C
A
D
E
解：∵∠BAC = ∠DAE，且 = = ，
∴△ADE ∽△ABC.
∵它们的相似比为 3:5，
∴面积比为 9:25.
相似三角形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似三角形的性质(2)