1.1 课时3 菱形的应用 课件 (共18张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共18张PPT)
1.1 课时3 菱形的应用
1)掌握菱形面积的特殊计算方法。
2)灵活运用菱形的性质定理与判定定理解决相关问题。
菱形的相关知识有哪些？
菱形 定义
性质
判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
菱形的四条边都相等
对角线互相垂直且平分每一组对角　
轴对称图形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
四边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图：学校新修的菱形花园，沿两条对角线有两条小路 AC、BD, 你能用含有AC、BD的代数式表示菱形的面积吗？
A
B
C
D
你能通过割补把菱形转化成学过的图形吗？
（三角形、矩形、平行四边形）
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE.
E
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD,
所以S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+AC·DO
=AC(BO+DO)
=AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
(1)S = a·h.
(2)S = 4 S△ABO
=
A
B
D
C
a
h
O
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
菱形的面积计算公式：
例1.如图，四边形ABCD 是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.
求：(1)对角线 AC 的长度；
(2)菱形 ABCD 的面积.
（1）解：因为四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
所以AC=2AE=2×12=24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
所以∠AED=90°（菱形的对角线互相垂直）,
DE=BD=×10=5cm（菱形的对角线互相平分），
（2）解：菱形ABCD的面积
=△ABD的面积＋△CBD的面积
=2 × △ABD的面积
思考：你还有其他的方法计算菱形的面积吗？
练习：如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
于是
所以，S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以，S菱形ABCD＝AB h＝13h，
即，13h＝120，得
例2：在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
D
A
O
B
C
四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
S
解：
所以，这个公式对一般的对角线互相垂直的四边形仍成立。
=
=
=
=
练习：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是 。
菱形
证明：因为 AB//DC,AD//BC
所以四边形ABCD为平行四边形.
过点A、C作AE⊥BC,CF⊥AB，垂足分别为E、F.
则AE=CF，而S四边形ABCD= AB ×CF= BC× AE
所以BC=AB
所以四边形ABCD是菱形.
∟
∟
A
D
B
C
E
F
1.如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
B
2.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm
A
B
C
D
O
C
3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：因为D、E分别是AB、AC的中点，
所以DE∥BC且2DE＝BC.
又因为BE＝2DE，EF＝BE，
所以EF＝BC，EF∥BC，
所以四边形BCFE是平行四边形．
又因为EF＝BE，所以四边形BCFE是菱形；
(2)解：因为∠BCF＝120°，
所以∠EBC＝60°，
所以△EBC是等边三角形，
所以菱形的边长为4，高为 ，
所以菱形的面积为4
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形.
本节课你学到了什么？
1.菱形的性质与判定的综合性问题
2.菱形的面积
=底×高=两条对角线乘积的一半
3.综合运用