1.2 课时3 矩形的应用 课件 (共18张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共18张PPT)
1.2 课时3 矩形的应用
1.掌握矩形的性质及判定方法；
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明；
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
1.定义：
有一个角是　　的　　　　　叫做矩形。
2.性质和判定：
　　性　　质 判　定
　边
　角
对角线
同平行四边形
平行四边形
直角
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
对角线相等的平行四边形.
有三个角是直角的四边形.
有一个角是直角的平行四边形.
A
B
C
D
∟
∟
∟
∟
O
A
B
C
D
O
E
例1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,
CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
例2.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE= AD=3.
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例3.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形.
又∵AC=BD,
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
归纳
理由如下：连接AC、BD
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
例4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断
四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形；
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；
分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB，DF= AB
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF= AB.
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　 　)
A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2
C．S1B
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
B
3.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．　
证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.　
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．　
证明：
∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴ ADCN是矩形.　
通过本节课学习，你掌握了什么？