1.3 课时1 正方形的性质 课件(共16张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共16张PPT)
1.3 课时1 正方形的性质
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
说一说菱形是由平行四边形怎么变化而来的.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
边特殊化
矩形又是由平行四边形怎么变化而来的呢？
平行四边形
一个角是直角
角特殊化
矩形
想一想:将平行四边形的边和角同时特殊化，会得到什么样的图形呢？
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，回答问题：
每个平行四边形一组邻边相等且有一个角是直角.
你能发现它们有什么共同特征？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是矩形或者是菱形吗？
正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
讨论：1.正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
2.正方形的边、角、对角线有什么特征？请说明理由.
3. 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么样的关系？能用一个直观图进行表示吗？
A
B
C
D
4条对称轴
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．
边：
角：
对角线：
对角线互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
对角线相等
四个角都是直角
对边平行
四条边相等
A
B
C
D
你能证明这两个性质吗？
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：(1)∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD (正方形的定义).
又∵正方形ABCD是平行四边形，
∴正方形ABCD是矩形(矩形的定义)，
正方形ABCD是菱形(菱形的定义).
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB= BC=CD=AD；
AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
定理
几何语言：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°， AB = BC = CD = DA；
AC=BD，AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边都
相等，四个角都是直角).
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF，
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE ≌ △DCF，
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.∴BE ⊥ DF.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
菱形
一组邻边相等
有一个角是直角
一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
一组邻边相等，且有一个角是直角
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ 　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3．在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
45°
90°
45°
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
4. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .
22.5°
5．如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=QC．证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ．
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中,∵PD＝QC, ∴DQ＝AP ．
又∵AB＝AD ,∠D＝∠PAB＝90°,
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP＝90°．
∴BP＝AQ 且BP⊥AQ．
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．