1.3 课时2 正方形的判定 课件 (共29张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共29张PPT)
1.3 课时2 正方形的判定
1. 探索并证明正方形的判定；
2. 会运用正方形的判定条件进行有关的论证 .
探究1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
探究2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
定理4：对角线互相相等的菱形是正方形.
例1.如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴ BC=CD=DA=AB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D.
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′(SAS).
∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠ 3.
∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°.∴∠D′A′B′=180°－(∠1+∠ 3)=90°.
∴四边形A′B′C′D′为正方形.
例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB,
∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB .
∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 .
在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线，
①若∠BEF=30°，则∠A =______.
②若 EF=8cm, 则 AC =______.
你还记得三角形的中位线定理吗？
30°
16 cm
中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.
如图1-3-4，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，
则四边形EFGH 就是中点四边形.
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？正方形的中点四边形会是什么形状？
任意四边形的中点四边形是平行四边形.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边的中点.求证：四边形 EFGH为正方形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可证 HG∥AC 且HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD.
∴四边形 PFQO 为平行四边形.
菱形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形.
你能试着证明吗？
矩形的中点四边形是菱形.
已知：如图，点 E，F，G，H分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可证 HG∥AC且HG = AC，
EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH
∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
例3.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　)
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
B
C
3．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形EFGH是正方形.
理由如下：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
正
方
形
对角线相等
性质
判定
正方形的面积公式
特殊的矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
特殊的菱形
一个角是直角