2.1 课时2 一元二次方程根的估算 课件(共20张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共20张PPT)
2.1 课时2
一元二次方程根的估算
2.会估算一元二次方程的根（解）.
1.经历一元二次方程根（解）的探索过程并理解其意义.
① 只含有一个未知数；
②未知数的最高次数是2；
③整式方程.
回顾2：一元二次方程的一般形式是什么？
回顾1：一元二次方程有哪些特点？
ax2 + bx + c = 0(a，b，c为常数，a≠0)
二次项
一次项
常数项
一元二次方程的根：
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（根）.
想想：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-3 , -2 ，-1 ，0 ，1，2，3
解：当x=3时， x2 – x – 6 =9-3-6= 0
当x=-2时， x2 – x – 6 =4+2-6= 0
∴ x=3或x=-2都是x2 – x – 6 = 0的解
注意,一元二次方程可能不止一个根.
情境1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
(1)x可能小于0吗 可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由;
(2)你能确定x的大致范围吗
x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负.
x 不可能大于 4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有 8-2x > 0.
x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0.
0 < x <2.5
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗
(3)填写下表:
28
18
10
4
①表格中，当x的值从小到大变化时(8-2x)(5-2x)的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程。
②由表格知，当x=1时，(8-2x)(5-2x)=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程(8-2x)(5-2x)=18的解”
所求宽度为 1 m.
你还有其他求解方法吗？
①在未知数x的取值范围内确定范围；
②根据题意的具体情况再次确定大致范围；
③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.。
一元二次方程解的估算
情境2：如图所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程：
(x+6)2+72=102
C
B
A
也就是：
x2+12x-15=0
化成了
一般形式
(1) 小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗？为什么？
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
不正确，因为x=1m不满足方程.
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x 1 2 3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
可以看出：
据此猜测x在1和2之间，即1(4)x的整数部分是几 十分位是几
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
-2
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．
利用“两边夹”的思想
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
解：(1)列表.依次取x=0，1，2 ，3…
x 0 1 2 3 ...
x2 - 2x -1 -1 -2 -1 2 ...
由上表可发现，当2＜x＜3时， -1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
(2)继续列表，依次取x=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25；
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ...
x2 - 2x -1 -0.79 -0.56 -0.31 -0.04 0.25 ...
(3)取x=2.45，则x2 - 2x - 1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45.∴x≈2.4，即正数根为2.4.
1. 若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则 （ ）
A. a+b+c=0 B. a-b+c=0
C. -a-b+c=0 D. -a+b+c=0
2.根据下列表格的对应值可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）
的一个解x的范围是（ ）
A. 3C. 3.24B
C
3. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：
则方程x2+px+q=0的正数解满足（ ）
A. 解的整数部分是0，十分位是5
B. 解的整数部分是0，十分位是8
C. 解的整数部分是1，十分位是1
D. 解的整数部分是1，十分位是2
C
4. 某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m、宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图所示.若设人行走道宽为x m.
（1）请你列出相应的方程；
（2）x可能小于0吗？说说你的理由；
（3）x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；
（4）你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程.
解：（1）由题意得网球场的长和宽分别为(80-2x)m，(60-2x)m，则可列方程
(80-2x)(60-2x)=3 500，整理为x2-70x+325=0.
（2）x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度为正数.
（3）x的值不可能大于40，也不可能大于30.
理由如下：因为当x>40时，网球场的长80-2x<0，网球场的宽60-2x<0；当x>30时，网球场的宽60-2x<0，这是不符合实际的.
(4)人行走道的宽为5m，求解过程如下：
x 2 3 4 5 6 7
189 124 61 0 -59 -116
显然，当x=5时，,所以人行走道的宽为5m
通过这节课的学习活动，你有什么收获？