1.2 课时3 矩形的应用 课件(共18张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共18张PPT)
1.2 课时3
矩形的应用
1.掌握矩形的性质及判定方法
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用
1. 矩形的性质有哪些？
2. 矩形的判定方法有哪些？
A
B
C
D
O
① 是轴对称图形；② 四个角都是直角；③ 对角线相等且互相平分.
① 定义：有一个角是直角的平行四边形；
② 对角线相等的平行四边形是矩形；
③ 有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AE⊥BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
分析：由在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，BE：ED = 1：3，易证得 △OAB 是等边三角形，继而求得∠BAE 的度数，由△OAB 是等边三角形，求出∠ADE 的度数，又由 AD = 6，即可求得 AE 的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90° ( 矩形的四个角都是直角 )，
AC = BD ( 矩形的对角线相等 )，
AO = CO = AC，BO = DO = BD，( 矩形的对角线互相平分)
∴AO = BO = DO = BD，
∵ED = 3BE，
∴BE = OE.
又∵AE⊥BD，
∴AB = AO，
∴OA = AB = OB，
即 △OAB 是等边三角形，
∴∠ABD = 60°，
∴∠ADE = 90°-∠ABD = 90° - 60° = 30°，
∴AE = AD = ×6 = 3.
证明：∵ AD 平分∠BAD， AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC ，∠CAN = ∠CAM，
∴∠DAE =∠CAD+∠CAN
= ( ∠BAC + ∠CAM)
= ×180° = 90°
A
B
C
E
D
N
M
∟
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD 是 △ABC 的一条角平分线，AN 是 △ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点 E．
(1) 求证：四边形 ADCE 为矩形；
在 △ABC 中，
∵AB = AC，AD 平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC = 90°，
又∵ CE⊥AN
∴ ∠CEA = 90°
∴四边形 ADCE 为矩形 ( 有三个角是直角三角形的四边形是矩形 ).
A
B
C
E
D
N
M
∟
解：四边形 ABDE 是平行四边形，理由如下：
由 (1) 知，四边形 ADCE 为矩形，
∴ AC = DE，AE = CD．
又∵AB = AC，BD = CD，
∴AB = DE，AE = BD，
∴四边形 ABDE 是平行四边形 ( 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 )；
(2) 连接 DE，交 AC 于点 F，请判断四边形 ABDE 的形状，并证明；
A
B
C
E
D
N
M
∟
F
解：DF∥AB 且 DF = AB．理由如下：
∵四边形 ADCE 为矩形，
∴AF = CF，
∵BD = CD，
∴DF 是 △ABC 的中位线，
∴DF∥AB，DF = AB.
(3) 线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
A
B
C
E
D
N
M
∟
F
1. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ，OC = AC， OD= BD.
∴OC = OD，
∴四边形 OCED 是菱形．
A
B
C
D
O
E
2. 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：连接 AC、BD.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF = GH = BD，FG = EH = AC，
∴EF = FG = GH = HE，
∴四边形 EFGH 是菱形.
H
G
F
E
D
C
B
A
3. 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
理由如下：连接 AC、BD
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴EF = GH = BD，FG = EH = AC.
又∵AC = BD，
∴EF = FG = GH = HE，
∴四边形 EFGH 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
小结：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
解： BD = CD. 理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE =∠DCE.
∵E 是 AD 的中点，
∴AE = DE.
(1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由；
4. 如图所示，在 △ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF = BD. 连接 BF.
在 △AEF 和 △DEC 中，
∴△AEF ≌ △DEC ( AAS )
∴AF = DC.
∵AF = BD，
∴BD = DC.
(2) 当 △ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由．
解:当 △ABC 满足 AB = AC 时，四边形 AFBD 是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF = BD，
∴四边形 AFBD 是平行四边形 ( 对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴AB = AC，
由 (1) 得 BD = DC，
∴∠ADB = 90° ( 等腰三角形三线合一 ).
∴四边形 AFBD 是矩形 ( 一个角是直角的平行四边形是矩形)．
1. 矩形的定义：
2. 矩形的性质有哪些？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
(1) 矩形的对边平行且相等；
(2) 矩形的四个角都是直角；
(3) 矩形的对角线相等且互相平分.
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4. 矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对称轴.
5. 判定一个四边形是矩形的方法有哪些？
(1) 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
(2) 有三个角是直角的四边形是矩形；
(3) 对角线相等的平行四边形是矩形.