2.1 课时2 一元二次方程根的估算 课件 (共17张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共17张PPT)
2.1 课时2 一元二次方程根的估算
1.理解方程解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程能理解其意义.
3.会利用“两边夹”的思想估算一元二次方程的解.
1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______.
一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是
__________________.
3. 近似数 2.36 ≈ _______(精确到0.1).
解
2x2–x -7 = 0
2.4
问题1：下面哪些数是方程 x2 – 2x – 8 = 0 的解
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3 ，4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2 – 2x – 8
16
-8
7
0
-5
-8
-9
-5
0
像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的
值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
8 m
5 m
(1) x可能小于0吗 说说你的理由．
追问：x可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由.
x
x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负.
x 不可能大于 4 ，(8-2x)表示地毯的长，所以有 8-2x > 0.
x 不可能大于 2.5 ，(5-2x) 表示地毯的宽，所以有 5-2x > 0.
问题2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
8 m
5 m
(2) 你能确定 x 的大致范围吗？
x
由(1)可知：0(3) 填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
(4) 你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗？
所求宽度为 1 m.
28
18
10
4
你还有其他求解方法吗？
问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程72＋(x＋6)2 ＝ 102 ，也就是x2 +12 x - 15 = 0.
10m
8m
1m
xm
(1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？
不正确，因为 x = 1时不满足方程.
(2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是
3 m 吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时不满足方程.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时不满足方程.
问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程72＋(x＋6)2 ＝ 102 ，也就是x2 +12 x - 15 = 0.
10m
8m
1m
xm
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x 1 2 3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
猜测：1问题3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程72＋(x＋6)2 ＝ 102 ，也就是x2 +12 x - 15 = 0.
(4)由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
-2
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．
你的结果是怎样的？
进一步计算：
上述求解是利用了“两边夹”的思想
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x -1＜2，则正数根在2到3之间；
②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；
③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间；若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可.
分析：
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
解：(1)列表.依次取x=0，1，2 ，3…
x 0 1 2 3 ...
x2 - 2x -1 -1 -2 -1 2 ...
由上表可发现，当2＜x＜3时， -1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
(2)继续列表，依次取x=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25；
(3)取x=2.45，则x2 - 2x - 1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45.∴x≈2.4，即正数根为2.4.
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ...
x2 - 2x -1 -0.79 -0.56 -0.31 -0.04 0.25 ...
1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？
解: 设第一个整数为 x．
x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2 ＝ (x＋3)2＋(x＋4)2．
3x2＋6x＋5 ＝ 2x2＋14x＋25．
x2－8x－20＝0．
列表：
x -3 -2 -1 ... 9 10 11
x2 - 8x -20 13 0 -11 ... -11 0 13
所以x＝-2或10．
所以，这五个整数分别是10，11，12，13，14 或 -2，-1，0，1，2.
2.根据题意，列出方程，并估算方程的解：一个面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m. 苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m，则长为(x+2) m ，根据题意，得： x(x + 2) = 120.
即 x2 + 2x - 120 = 0.
列表：
x 8 9 10 11 12
x2 +2x -120 -40 -21 0 23 48
所以，苗圃的宽为 10 m，长为 12 m．
3.有一条长为 16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？
解: 能，设矩形的宽为 x m，则长为(8-x)m.
依题意，得x(8-x) ＝ 15．
即：x2-8x+15＝ 0．
列表：
所以，矩形的宽为 3 m，长为 5 m．
x 1 2 3 4
x2 -8x +15 8 3 0 -1
用“两边夹”思想估算一元二次方程解的一般步骤：
一元二次方程的解及其估算
一元二次方程的解：
使一元二次方程等号两边相等的未知数的
值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.