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1第11章《三角形》阶段检测卷(一)
(测试范围:11.1与三角形有关的线段与三角形有关的角)
（解答参考时间:90 钟,满分:120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3 cm，3 cm，6 cm B．4 cm，5 cm，15 cm
C．5 cm，6 cm，9 cm D．7 cm，6 cm，13 cm
【思路点拔】根据三角形的三边关系判断即可．
解：A、3+3＝6，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+5＞15，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+6＞9，能组成三角形，符合题意；
D、7+6＝13，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
2．三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
【思路点拔】三角形两边之和大于第三边，三角形两边差小于第三边，由此即可求解．
解：设三角形的第三边长是x，
∴5﹣3＜x＜3+5，
∴2＜x＜8，
∴第三边的长可能5．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（ ）
A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ
【思路点拔】根据三角形的高的定义判断即可．
解：△ABC的高是线段CQ，
故选：C．
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的定义判断．
4．等腰三角形一边长为3，周长为11，那么这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3或4
【思路点拔】分3是腰长与底边两种，根据等腰三角形两腰相等列式求解即可．
解：①3是腰长时，三边分别为3、3、5能组成三角形；
②3是底边时，腰长为（11﹣3）＝4，三边分别为4、4、3，能组成三角形．
综上所述，腰长为3或4．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，是基础题，注意分情况讨论即可．
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
【思路点拔】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAC＝45°，最后利用平行线的性质可得∠ACE＝∠DAC．
解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝∠DAC＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．165°
【思路点拔】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算，得到答案．
解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
【思路点拔】根据邻补角的性质可得∠AED＝54°，∠BGF＝62°，再由平行线的性质可得∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，然后三角形内角和定理，即可求解．
解：如图，
根据题意得：∠DEF＝126°，∠FGC＝118°，
∴∠AED＝180°﹣126°＝54°，∠BGF＝180°﹣118°＝62°，
∵DE∥CG，FG∥CD，
∴∠B＝∠AED＝54°，∠C＝∠BGF＝62°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，邻补角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，B处在A的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东25°方向，C处在B处的北偏东75°方向，则∠ACB的度数是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【思路点拔】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
解：∵B处在A处的南偏西40°方向，C处在B处的北偏东75°方向，
∴∠ABC＝75°﹣40°＝35°，
∵C处在A处的南偏东25°方向，
∴∠BAC＝40°+25°＝65°，
∴∠ACB＝180°﹣35°﹣65°＝80°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝130°，将△ABC折叠，使顶点B、A均与顶点C重合，那么∠ECF的度数为（ ）
A. B. C. D.
【思路点拔】在△ABC中，∠ACB＝130°，可知∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，又∠BCE+∠ACF＝∠B+∠A＝50°，继而可求出∠ECF的度数．
解：在△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
根据翻折的性质，∠ECB＝∠B，∠ACF＝∠A，
∴∠ECB+∠ACF＝∠B+∠C＝50°，
∴∠ECF＝∠BCA﹣∠ECB﹣∠ACF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：A.
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、三角形的内角和定理来分析、判断、推理或解答．
10．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【思路点拔】由平角的定义可得∠5＝180°﹣（∠1+∠2），∠6＝180°﹣（∠3+∠4），再由三角形的内角和可得∠2+∠3＝110°，再利用三角形的内角和即可求∠β．
解：如图，
由题意得：∠5＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣（∠5+∠6）
∴∠β＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【思路点拔】利用三角形的稳定性直接回答即可．
解：利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大．
12．如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝ 45 度．
【思路点拔】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD＝∠A+∠C＝60°+50°＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠ABD﹣∠D＝180°﹣110°﹣25°＝45°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单．
13．如图，AD是△ABC的中线，AB＝10，AC＝8，若△ACD的周长为18，则△ABD周长为 20 ．
【思路点拔】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣8＝2，
∵△ACD的周长为18，AB比AC长2，
∴△ABD周长为：18+2＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
14．将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ 15° ．
【思路点拔】先在△ABC中，利用直角三角形的两个锐角互余求出∠A＝30°，再根据垂直定义可得∠AFM＝90°，从而可得∠AMF＝60°，然后利用对顶角相等可得∠AMF＝∠CME＝60°，从而利用三角形内角和定理求出∠MCE＝75°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AFM＝90°，
∴∠AMF＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠AMF＝∠CME＝60°，
∵∠E＝45°，
∴∠MCE＝180°﹣∠E﹣∠CME＝75°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠MCE＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 60或10 度．
【思路点拔】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是本题的关键．
16．如图，已知BD，CE分别是△ABC的两条中线，BD⊥CE于点O，且CE＝6，BD＝8，则△ABC的面积为 32 ．
【思路点拔】首先作AF⊥CE交CE的延长线于点F，根据三角形的重心的性质，分别求出BO、DO的值各是多少；然后根据三角形的面积的求法，分别求出△ACE、△BCE的面积，再把它们求和，求出△ABC的面积为多少即可．
解：如图1，作AF⊥CE交CE的延长线于点F，，
∵点O是△ABC的重心，
∴BO＝8，DO＝8，
∵AF⊥CE，BD⊥CE，
∴AF∥BD，
又∵点D是AC的中点，
∴AF＝2DO＝2，
∴S△ABC＝S△ACE+S△BCE
＝6
＝16+16
＝32
即△ABC的面积为32．
方法二，∵点O是△ABC的重心，
∴BO＝8，DO＝8，
∴S△BECEC×BO＝16，
∵AE＝BE，
∴S△ABC＝2S△BEC＝32，
故答案为：32．
【点评】（1）此题主要考查了三角形的重心的判断和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
（2）此题还考查了勾股定理的应用，要熟练掌握．
三．解答题（共8题,共72分）
17．（本题8分）如图，在△ABC中，按要求画图．
（1）画△ABC的角平分线AD．
（2）画△ABC的BC边上的高AE．
（3）画△ABC的AB边上的中线CF．
【思路点拔】（1）画△ABC的角平分线AD即可；
（2）画△ABC的BC边上的高AE即可；
（3）画△ABC的AB边上的中线CF即可．
解：如图，
（1）AD即为所求；
（2）AE即为所求；
（3）CF即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握三角形的角平分线、中线和高的作法．
18．（本题8分）求出下列图形中x的值．
【思路点拔】（1）根据三角形的外角性质求解即可；
（2）根据四边形内角和是360°求解即可．
解：（1）由三角形的外角性质得，60°+（60°﹣x）＝x+90，
解得，x＝15°．
（2）根据四边形的内角和为360°得，
x+（x+10）+90+60＝360，
解得，x＝100．
【点评】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键．
19．（本题8分）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC的边AD上的高，∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠B的度数．
【思路点拔】根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数，利用三角形的内角和即可求出∠B的度数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝40°，
∵CE是△ADC边AD上的高，
∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，
∵∠ECD＝25°
∴∠ACB＝50°+25°＝75°，
∴∠B的度数＝180°﹣80°﹣75°＝25°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，同时也利用了角平分线的性质，比较简单．
20．（本题8分）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
【思路点拔】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC∠EBC，∠PCB∠FCB，
∴∠PBC+∠PCB（∠EBC+∠FCB）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
21．（本题8分）已知等腰三角形的周长为20，求：
（1）底边长y与腰长x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
【思路点拔】（1）由等腰三角形的周长＝两腰长+底长就可以得出结论；
（2）根据三角形的三边关系就可以求出x的取值范围；
解：（1）由题意，得y+2x＝20，
整理得：y＝﹣2x+20；
（2）由题意，得
0＜x＜x+（﹣2x+20），
解得：0＜x＜10，
由三角形三边关系得：x+x＞y，
所以2x＞20﹣2x，
解得x＞5，
综上5＜x＜10．
【点评】考查了等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据三角形的三边关系确定自变量的取值范围，难度不大．
22．（本题10分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
【思路点拔】（1）利用外角性质及∠EAD＝∠EDA，可得∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，又由角平分线的定义可得：∠EAC＝∠B＝54°．
（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠BAD＝2x，则∠EDA＝∠EAD＝∠CAD+∠EAC＝2x+54°，在三角形EDA中再由三角形内角和为180°建立方程求解x即可求解此题．
解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠EAC＝∠B．
∵∠B＝54°，
∴∠EAC＝54°．
（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x，
∵∠B＝54°，
∴∠EDA＝∠EAD＝2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x＝180°．
解得x＝8°．
∴∠E＝5x＝40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角性质、角平分线的定义，解题关键是根据几何性质找到等量关系建立方程求解．
23．（本题10分）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝40°，求∠BAC的度数．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA（180°﹣∠ABC），∠OBC∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°+∠OBC，∠ODC＝90°+∠OBD，于是得到结论；
（2）①由角平分线的性质得到∠EBF＝90°﹣∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°﹣∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE（∠BAC+∠ACB），∠FCBACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：（1）∠AOC＝∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°∠ABC＝90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠ODC＝90°+∠OBD，
∴∠AOC＝∠ODC；
（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF∠ABE（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBEABE（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCBACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF（∠BAC+∠ACB）∠ACBBAC，
∵∠F＝40°，
∴∠BAC＝2∠F＝80°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
24.（本题12分）在平面直角坐标系中,为的角平分线.
（1）如图1,于点,交于点.求证:;
（2）如图2,是的角平分线,于点,交的延长线于点.若,求的度数(用含的式子表示);
（3）如图3,已知点为线段上一动点(不与两点重合),轴于点于点的值是否变化 若不变求其值;若变化请说明理由.
图1 图2 图3
解:(1)是的角平分线,,
是的高,,
,
,
;
(2),
平分.
,
平分;
(3)不变,.连接.
,
,
,
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1第11章《三角形》阶段检测卷(一)
(测试范围:11.1与三角形有关的线段与三角形有关的角)
（解答参考时间:90 钟,满分:120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3 cm，3 cm，6 cm B．4 cm，5 cm，15 cm
C．5 cm，6 cm，9 cm D．7 cm，6 cm，13 cm
2．三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
3．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（ ）
A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ
4．等腰三角形一边长为3，周长为11，那么这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3或4
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．55° D．60°
6．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．105° C．135° D．165°
7．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，则∠A的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
8．如图，B处在A的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东25°方向，C处在B处的北偏东75°方向，则∠ACB的度数是（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
9．如图，△ABC中，∠ACB＝130°，将△ABC折叠，使顶点B、A均与顶点C重合，那么∠ECF的度数为（ ）
A. B. C. D.
10．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，利用三角支架可以固定平板电脑的位置，这样做的数学道理是 ．
12．如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝ 度．
13．如图，AD是△ABC的中线，AB＝10，AC＝8，若△ACD的周长为18，则△ABD周长为 ．
14．将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点C，∠B＝60°，∠E＝45°，斜边AB⊥DE，垂足为F，则∠ACD＝ ．
15．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
16．如图，已知BD，CE分别是△ABC的两条中线，BD⊥CE于点O，且CE＝6，BD＝8，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共8题,共72分）
17．（本题8分）如图，在△ABC中，按要求画图．
（1）画△ABC的角平分线AD．
（2）画△ABC的BC边上的高AE．
（3）画△ABC的AB边上的中线CF．
18．（本题8分）求出下列图形中x的值．
19．（本题8分）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC的边AD上的高，∠BAC＝80°，∠ECD＝25°，求∠B的度数．
20．（本题8分）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．
21．（本题8分）已知等腰三角形的周长为20，求：
（1）底边长y与腰长x之间的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
22．（本题10分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
23．（本题10分）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝40°，求∠BAC的度数．
24.（本题12分）在平面直角坐标系中,为的角平分线.
（1）如图1,于点,交于点.求证:;
（2）如图2,是的角平分线,于点,交的延长线于点.若,求的度数(用含的式子表示);
（3）如图3,已知点为线段上一动点(不与两点重合),轴于点于点的值是否变化 若不变求其值;若变化请说明理由.
图1 图2 图3
