1.3 课时1 正方形的性质 课件 (共19张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共19张PPT)
1.3 课时1
正方形的性质
1.理解正方形的定义,了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
2.掌握正方形的性质定理，并会进行有关的计算与证明．
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
正方形的定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
平行四边形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的定义
A
B
C
D
填一填：
角：
边：
对角线：
对称性：
四个角都是直角.
四条边相等.
对角线相等且互相垂直平分.
a
a
a
a
轴对称图形（4条对称轴）.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
正方形的性质
定理2：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形（4条对称轴）
例1.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗？与同伴交流.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
例2.如图，在正方形ABCD中，E 为CD 上一点，F 为BC 延长线上一点，CE =CF.
(1)求证：△BCE ≌△DCF；
(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴ BC=DC，∠BCE =∠DCF =90° .
又∵ CE=CF，
∴△BCE ≌△DCF.
（2）解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，
∴∠ DFC= ∠ BEC=60° .
∵ CE=CF，∠ ECF=90°，
∴∠ CFE=45° .
∴∠ EFD=∠ DFC- ∠ CFE=60°-45°=15°.
例3.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，
求证：∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE=∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
A
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 .
2cm
3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（1）求证：BE=CF；（2）求BE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1cm.
∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC,
∴△ABE≌△AFE(AAS),∴BE=EF,∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ACB=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF=FC.
∴BE=FC.
3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（2）求BE的长．
（2）解：由（1）得△ABE≌△AFE，
∴AB=AF=1cm，
在Rt△ABC中，
∴BE=CF=AC-AF=
正方形的定义及性质
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的定义：
正方形的性质：