2023-2024学年河北省邢台市清河二中八年级（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省邢台市清河二中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在下列各图象中，为函数y＝x的大致图象的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
书名 《西游记》 《水浒传》 《三国演义》 《红楼梦》
销量 180 120 125 85
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝18°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
6．（3分）如图，构成伸缩门的基本图形是菱形，且每个小菱形的边长都为0.4米，伸缩门伸展到最宽时为8米，此时菱形的一个内角为60°．若中间隔板的厚度不计，则图中的n为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．（3分）若一组数据中有a个10，b个20，c个30，则这组数据的平均数是（　　）
A．20
B．
C．
D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与y＝mx（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．am＜b
B．关于x的不等式ax+b＜mx的解集是x＜2
C．关于x的方程ax+b＝mx的解是x＝2
D．关于x，y的方程组的解为
9．（3分） ABCD中EF经过两条对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，在对角线AC上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）
以点O为圆心，OE的长为半径作弧，交AC于点M、N 分别作△AOE、△COF中OA、OC边上的中线EM、FN 分别作△AOE、△COF中∠AEO、∠CFO的平分线EM、FN
A．都为矩形
B．都为菱形
C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形
D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形
10．（3分）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
如图，延长MN交①于点G．用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S：方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②．方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理．
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表BC
B．②代表c2+ab
C．③代表正方形AFDE
D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab
11．（3分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．（3分）已知二次根式有意义，请你写出一个符合条件的正整数a的值 　 　．
14．（3分）如图，投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，．若，，，则成绩更稳定的是 　 　.（填“甲”或“乙”）
15．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 　 　cm2．
16．（3分）在平面直角坐标系中，过点P（1，1）向直线y＝kx﹣4k+5作垂线，则垂线段的最大长度为 　 　．
三、解答题（本大题共8题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（8分）下面是4个未化简的实数：，，，．
（1）依次写出这4个数的化简结果．
（2）求这4个数的平均数．
18．（8分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．
19．（8分）先观察下列各组数，然后根据各组数反映的规律回答问题：
第1组：1，，2．
第2组：，2，．
第3组：，，．
第4组：2，，．
……
（1）若有一组数的第一个数为3，则第二、三个数分别为 　 　．
（2）用含n的代数式表示第n组的三个数为 　 　．
（3）若各组数的三个数分别是三角形的三边长，试判断这个三角形的形状，请说明理由．
20．（8分）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，A场馆门票的价格是每张50元，B场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票，且购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用．设到A场馆参观的人数为a人，此次购买门票所需总金额为W元．
（1）求W关于a的函数解析式．
（2）若到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值．
21．（9分）4月23日是“世界读书日”，第六届全国“相约《论语》文化中国——世界读书日人人读《论语》”大型公益活动，在河北省石家庄市栾城区县标广场举行．为了解学生的课外阅读情况，某校分别从七、八年级中各随机抽取50名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），平均每天课外阅读时长用x表示，数据分为六组：A．0≤x＜0.5；B．0.5≤x＜1.0；C．1.0≤x＜1.5；D．1.5≤x＜2.0；E．2.0≤x＜2.5；F．2.5≤x≤3．对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：七年级50名学生平均每天课外阅读时长的条形统计图
信息二：八年级50名学生平均每天课外阅读时长的频数分布表
分组 A B C D E F
人数 2 b 16 20 4 a
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补充完整统计图．
（2）下列结论正确的是　 　（填序号）．
①七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的众数是在C组内，而八年级的众数在D组内；
②七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的中位数是在C组内，而八年级的中位数在哪个组内不能确定；
③七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的平均数可以这样计算：．
（3）若七年级50名学生平均每天课外阅读时长F组的学生有m人，八年级50名学生平均每天课外阅读时长大于或等于2小时的人数不少于（m﹣1），已知a＜5，求b的值．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线M→B→A方向运动，设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求出S关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（3）当4＜S≤6时，直接写出t的取值范围．
23．（10分）【特例感知】如图1，在矩形ABCD中．
（1）若AB＝6，BC＝8，则AC2+BD2＝　 　．
（2）若AB＝a，BC＝b，则AC2+BD2＝　 　（用含a、b的式子表示）．
【拓展延伸】如图2，在 ABCD中，若AB＝a，BC＝b，则（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（3，2），（4，4），（3，6）．
（1）点D的坐标为 　 　．
（2）求证： ABCD为菱形．
（3）若直线上有一动点P，点P的横坐标为m，当点P在 ABCD内部（不包含边界）时，求m的取值范围．
2023-2024学年河北省邢台市清河二中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在下列各图象中，为函数y＝x的大致图象的是（　　）
A． B． C． D．
选：A．
2．（3分）某书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表，依统计数据，为更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些《西游记》，你认为最影响该书店决策的统计量是（　　）
书名 《西游记》 《水浒传》 《三国演义》 《红楼梦》
销量 180 120 125 85
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
选：B．
3．（3分）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
选：C．
4．（3分）如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是图中的（　　）
A． B．
C． D．
选：B．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝18°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
选：D．
6．（3分）如图，构成伸缩门的基本图形是菱形，且每个小菱形的边长都为0.4米，伸缩门伸展到最宽时为8米，此时菱形的一个内角为60°．若中间隔板的厚度不计，则图中的n为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
选：C．
7．（3分）若一组数据中有a个10，b个20，c个30，则这组数据的平均数是（　　）
A．20
B．
C．
D．
选：D．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与y＝mx（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．am＜b
B．关于x的不等式ax+b＜mx的解集是x＜2
C．关于x的方程ax+b＝mx的解是x＝2
D．关于x，y的方程组的解为
选：B．
9．（3分） ABCD中EF经过两条对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，在对角线AC上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）
以点O为圆心，OE的长为半径作弧，交AC于点M、N 分别作△AOE、△COF中OA、OC边上的中线EM、FN 分别作△AOE、△COF中∠AEO、∠CFO的平分线EM、FN
A．都为矩形
B．都为菱形
C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形
D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形
选：D．
10．（3分）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
如图，延长MN交①于点G．用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S：方法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE与△ABF，△CDF拼成，则S＝②．方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方形CDNG，△AME，△DEN拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理．
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表BC
B．②代表c2+ab
C．③代表正方形AFDE
D．④代表c2+ab＝a2+b2+ab
选：C．
11．（3分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
选：A．
12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上．将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处．PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF．则AF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
选：B．
二、填空题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．（3分）已知二次根式有意义，请你写出一个符合条件的正整数a的值 　3　．
14．（3分）如图，投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，．若，，，则成绩更稳定的是 　乙　.（填“甲”或“乙”）
15．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 　8　cm2．
16．（3分）在平面直角坐标系中，过点P（1，1）向直线y＝kx﹣4k+5作垂线，则垂线段的最大长度为 　5　．
三、解答题（本大题共8题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（8分）下面是4个未化简的实数：，，，．
（1）依次写出这4个数的化简结果．
（2）求这4个数的平均数．
【解答】解：（1）＝2，＝，＝，＝；
（2）这4个数的平均数为：．
18．（8分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB．
∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAE＝∠E．
∴AB＝BE．
∴CD＝BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA．
∴∠DAF＝∠DFA．
∴DA＝DF．
∵F为DC的中点，AB＝4，
∴DF＝CF＝DA＝2．
∵DG⊥AE，DG＝1，
∴AG＝GF．
∴AG＝．
∴AF＝2AG＝2．
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4．
19．（8分）先观察下列各组数，然后根据各组数反映的规律回答问题：
第1组：1，，2．
第2组：，2，．
第3组：，，．
第4组：2，，．
……
（1）若有一组数的第一个数为3，则第二、三个数分别为 　，　．
（2）用含n的代数式表示第n组的三个数为 　，，　．
（3）若各组数的三个数分别是三角形的三边长，试判断这个三角形的形状，请说明理由．
【解答】解：（1）∵第1组：1，，2．
第2组：，2，．
第3组：，，．
第4组：2，，．
有一组数的第一个数为3，即，
∴第二、三个数分别为，
（2）用含n的代数式表示第n组的三个数为：，，
（3）直角三角形，
∵，
即任意一组都满足前两个数的平方和等于第三个数的平方．
20．（8分）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，八年级某班组织40名同学到航天展览馆参观，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，A场馆门票的价格是每张50元，B场馆门票的价格是每张40元．由于场地原因，要求每位同学只能选择一个场馆参观，参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票，且购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用．设到A场馆参观的人数为a人，此次购买门票所需总金额为W元．
（1）求W关于a的函数解析式．
（2）若到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，求此次购买门票所需总金额的最小值．
【解答】解：（1）设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张，
依题意得：W＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600，
∴W关于a的函数解析式为W＝﹣30a+1600；
（2）依题意得：α＜40﹣2a，
解得：a＜，且a为整数，
在W＝﹣30a+1600中，
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
21．（9分）4月23日是“世界读书日”，第六届全国“相约《论语》文化中国——世界读书日人人读《论语》”大型公益活动，在河北省石家庄市栾城区县标广场举行．为了解学生的课外阅读情况，某校分别从七、八年级中各随机抽取50名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），平均每天课外阅读时长用x表示，数据分为六组：A．0≤x＜0.5；B．0.5≤x＜1.0；C．1.0≤x＜1.5；D．1.5≤x＜2.0；E．2.0≤x＜2.5；F．2.5≤x≤3．对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：七年级50名学生平均每天课外阅读时长的条形统计图
信息二：八年级50名学生平均每天课外阅读时长的频数分布表
分组 A B C D E F
人数 2 b 16 20 4 a
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补充完整统计图．
（2）下列结论正确的是　①②　（填序号）．
①七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的众数是在C组内，而八年级的众数在D组内；
②七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的中位数是在C组内，而八年级的中位数在哪个组内不能确定；
③七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的平均数可以这样计算：．
（3）若七年级50名学生平均每天课外阅读时长F组的学生有m人，八年级50名学生平均每天课外阅读时长大于或等于2小时的人数不少于（m﹣1），已知a＜5，求b的值．
【解答】解：（1）F组的人数为：50﹣6﹣10﹣11﹣10﹣5＝8，
补充完整统计图如图：
（2）①七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的众数是在C组内，而八年级的众数在D组内，故①正确；
②七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的中位数是在C组内，而八年级的中位数在哪个组内不能确定，故②正确；
③七年级50名学生的平均每天课外阅读时长的平均数可以这样计算：，故③不正确，
故答案为：①②．
（3）∵m＝8，
∴八年级50名学生平均每天课外阅读时长大于或等于2小时的人数不少于8﹣1＝7，
即4+a≥7，解得：a≥3，
又∵a＜5，
∴a＝3或a＝4，
当a＝3时，b＝50﹣2﹣16﹣20﹣4﹣3＝5，
当a＝4时，b＝50﹣2﹣16﹣20﹣4﹣4＝4，
∴b＝4或5．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，M为BC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发，沿折线M→B→A方向运动，设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求出S关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围．
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
（3）当4＜S≤6时，直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）当点P在CB上，0≤t＜2，
∵M为BC中点，BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
∴PC＝2+t，
∴S△APC＝PC AB＝（2+t）×3＝t+3；
当点P在AB上，2≤t≤5，PA＝5﹣t，
∴S△APC＝AP BC＝（5﹣t）×4＝﹣2t+10，
∴S关于t的函数表达式为S＝；
（2）如图，
（3）由图象可知S＝4，t＝或t＝3，
∴当4＜S≤6时，t的取值范围是＜t＜3．
23．（10分）【特例感知】如图1，在矩形ABCD中．
（1）若AB＝6，BC＝8，则AC2+BD2＝　200　．
（2）若AB＝a，BC＝b，则AC2+BD2＝　2（a2+b2）　（用含a、b的式子表示）．
【拓展延伸】如图2，在 ABCD中，若AB＝a，BC＝b，则（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【解答】解：【特例感知】（1）∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝62+82＝100，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2＝82+62＝100，
∴AC2+BD2＝200，
故答案为：200．
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB＝a，BC＝b，
∴AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝a2+b2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2＝b2+a2，
∴AC2+BD2＝2（a2+b2）；
【拓展延伸】成立，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC，交BC延长线于F，如图所示：
则AE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，且AB＝a，BC＝b，
∴CD＝AB＝a，BC＝AD＝b，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ADFE为矩形，
∴AE＝DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2①，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+BE）2②，
①+②得：AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
∴AC2+BD2＝2AB2+BC2＝2（a2+b2）．
24．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（3，2），（4，4），（3，6）．
（1）点D的坐标为 　（2，4）　．
（2）求证： ABCD为菱形．
（3）若直线上有一动点P，点P的横坐标为m，当点P在 ABCD内部（不包含边界）时，求m的取值范围．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵B（4，4），C（3，6），
∴点B向左平移1个单位，向上平移2个单位得到点C，
∴点A也是向左平移1个单位，向上平移2个单位得到点D，
∴D（2，4）；
故答案为：（2，4）．
（2）证明：由题可知，AB＝＝，BC＝＝，
∴AB＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（3）解：设直线AD解析式为y＝kx+b，将A（3，2），D（2，4）代入可得，
，
解得，
∴直线AD解析式为y＝﹣2x+8，
令﹣2x+8＝﹣x+，
解得x＝，
设直线AB的解析式为y＝px+q，将A（3，2），B（4，4）代入可得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣4，
令2x﹣4＝﹣x+，
解得x＝，
∵点P在 ABCD内部（不包括边界），
∴＜m＜．