中小学教育资源及组卷应用平台
3第11章《三角形》单元核心思想方法（基本模型）专题卷
思想方法1 转化思想
1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【思路点拔】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．
解：由题意可得∠1＝∠C+∠D，∠2＝∠A+∠E，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
2．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，求∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
【思路点拔】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，
又∵∠BED＝∠D+∠EGD，
∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，
又∵∠CGE+∠EGD＝180°，
∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，
又∵∠D＝28°，
∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°．
故答案为：208°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，此题难度不大．
思想方法2 方程思想
3．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．
【思路点拔】设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．
解：设∠C＝2x，则∠ADB＝3x，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴3x＝36°+2x，
∴x＝36°，
∴∠C＝72°，∠ADB＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠ADB＝∠E+∠DAE，
∴∠DAE＝108°﹣90°＝18°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
思想方法3 分类讨论
4．△ABC中，∠A＝50°，BD、CE是它的两条高，直线BD、CE交于O，则∠DOE的度数为 130°或50° ．
【思路点拔】可分三种情况：当△ABC为锐角三角形时，当△ABC为钝角三角形时，当△ABC为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解．
解：如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠DEO＝∠BOC＝∠BEC+∠ABD＝90°+40°＝130°；
当△ABC为钝角三角形时，BD⊥AC的延长线于D，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠DOE＝∠BOC＝∠BEC+∠ABD＝90°﹣40°＝50°；
当△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°时，∠BOC不存在，
故∠DOE的度数为130°或50°．
故答案为：130°或50°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．
5．如图所示，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为 72 度．
【思路点拔】由多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解．
解：∵四边形、五边形、六边形的各内角相等，
∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°，
∴∠2+∠BAC＝90°，∠1+∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，
∵∠3＝60°，
∴∠BCA＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣30°＝150°，
∵∠2+∠BAC+∠1+∠ABC＝90°+132°＝222°，
∴∠1+∠2＝222°﹣150°＝72°，
故答案为72．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数．
思想方法4 整体思想
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 120° ．
【思路点拔】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
思想方法5 特殊到一般
7．△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠BMC的度数
（2）若MN⊥BC于N，∠A＝60°，求图中∠1﹣∠2的值；
（3）若∠BEC＝x，∠BDC＝y，求∠BMC度数．
【思路点拔】（1）根据三角形内角和定理求出∠MBC，∠MCB即可解决问题；
（2）构建方程组即可解决问题；
（3）利用外角的性质及上面（2）的结论即可用含x、y的代数式表示∠BMC＝60°．
解：（1）∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠MBC∠ABC＝35°，∠MCB∠ACB＝25°，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB＝120°．
（2）∵∠BMC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝120°，
∴∠1+∠BMN＝120°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠BMN＝90°②，
①﹣②得：∠1﹣∠2＝30°．
（3）如图：
∵∠BMC＝90°∠A，
∵∠BEC＝∠A+∠6，∠BDC＝∠A+∠4，且∠4＝∠5，∠6＝∠7，
∴x＝∠A+∠7①，y＝∠A+∠5②，
①+②得：x+y＝2∠A+（∠7+∠5），
∵∠BMC＝90°∠A，
∴∠A＝2∠BMC﹣180°，
∵∠7+∠5＝180°﹣∠BMC，
∴x+y＝4∠BMC﹣360°+180﹣∠BMC，
∴∠BMC＝60°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及外角的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点记∠PDA为∠1，∠PEB为∠2，∠DPE为∠α．
（1）若点P在线段AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，请猜想∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间又有何关系？请直接写出结论，不用说明理由．
【思路点拔】（1）根据邻补角的性质、四边形的内角和等于360°解答；
（2）仿照（1）的作法，得到∠α，∠1，∠2之间的关系；
（3）根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：（1）∵∠1+∠PDC＝180°，∠2+∠PEC＝180°，
∴∠1+∠2+∠PDC+∠PEC＝360°，
∵四边形CDPE的内角和是360°，
∴∠PDC+∠PEC+∠C+∠α＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
（2）∠1+∠2＝90°+∠α，
理由：∵∠1+∠PDC＝180°，
∠2+∠PEC＝180°，
∴∠1+∠2+∠PDC+∠PEC＝360°，
∵四边形CDPE的内角和是360°
∴∠PDC+∠PEC+∠C+∠α＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α＝90°+∠α；
（3）由三角形的外角性质可知，∠3＝∠2+∠α，
∴∠1＝90°+∠3＝90°+∠2+∠α．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、多边形的内角与外角，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
基本模型1 两条内角平分线的夹角
9．阅读下面材料，并解决问题．
【问题情境】如图1，已知在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°∠A；（不需证明）
【问题探究】（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝60°，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2．则∠BO1C＝ 100° ，∠BO2C＝ 140° ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠A＝146°，∠D＝100°，∠ABC，∠DCB的三等分线交于点O1，O2．求∠BO1C，∠BO2C的度数；
【问题解决】（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCE是四边形ABCD的外角，若∠A＝α，∠D＝β，∠ABC，∠DCE的三等分线交于点O1，O2．则∠BO1C＝ （α+β）﹣120° ，∠BO2C＝ （α+β）﹣60° ．（用含α，β的式子表示）．
【思路点拔】（1）根据∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，可得，，，，即有，，问题随之得解；
（2）先得出四边形的内角和为360°，即有∠ABC+∠DCB＝360°﹣∠A﹣∠D＝114°，再根据∠ABC，∠DCB的三等分线交于点O1，O2，可得，，，，问题随之得解；
【问题解决】根据∠ABC，∠DCE的三等分线交于点O1，O2，即有，，，，再根据三角形外角的定义与性质可得，，进而有，，问题随之得解．
解：（1）在△ABC中，若∠A＝60°，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴，，，，
∴，，
∴∠BO1C＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝100°，∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝140°；
（2）在四边形ABCD中，若∠A＝146°，∠D＝100°，
∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣∠A﹣∠D＝114°，
∵∠ABC，∠DCB的三等分线交于点O1，O2，
∴，，，，
∴，，
∴∠BO1C＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝104°，∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝142°；
【问题解决】∵∠ABC，∠DCE的三等分线交于点O1，O2，
∴，，，，
∵∠O1+∠O1BC＝∠O1CE，∠O2+∠O2BC＝∠O2CE，
∴，，
∴，，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴，，
∵在四边形ABCD中，∠A＝α，∠D＝β，
∴∠DCB+∠ABC＝360°﹣α﹣β，
∴180°﹣∠DCB﹣∠ABC＝α+β﹣180°，
∴，．
故答案为：（α+β）﹣120°；（α+β）﹣60°．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线，三等分线，三角形的内角和定理的应用，熟记概念并灵活运用是解本题的关键．
基本模型2 一条内角平分线与一条外角平分线的夹角
10．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 18° ．
（2）若∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ 12° ．
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，则∠OGA＝ （用含β的代数式表示）．
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO＝β（30°＜β＜90°）求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；
（4）讨论：当∠EOD：∠COE＝1：2时，利用∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝β+90°，∠FAD＝∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA＝β+90°，则∠OGA15°；当∠EOD：∠COE＝2：1时，则∠EOD＝60°，同理得∠OGA15°．
解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，
∴∠GAD∠BAD＝63°，∠EOA∠BOA＝45°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°；
故答案为18°；
（2）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD
∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°；
故答案为12°；
（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，
∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，
∵∠BOA＝90°，∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD
∴∠GAD＝30°，∠EOA＝30°，
∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOAβ，
故答案为：β；
（4）当∠EOD：∠COE＝1：2时，
则∠EOD＝30°，
∵∠BAD＝∠ABO+∠BOA＝β+90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD∠BAD，
∵∠FAD＝∠EOD+∠OGA，
∴2×30°+2∠OGA＝β+90°，
∴∠OGAβ+15°；
当∠EOD：∠COE＝2：1时，则∠EOD＝60°，
同理得到∠OGA15°，
即∠OGA的度数为15°或15°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质．
基本模型3 两条外角平分线的夹角
11．如图1，AD是△ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，∠EBC＝90°∠ABC，∠ECB＝90°∠ACB．
（1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ABC＝42°，则∠AEC＝ 21 度，若∠ACB＝64°，则∠AEB＝ 32 度；
（3）如图2．若CF平分∠ACB交AD于点F，求证：CF⊥CE．
【思路点拔】（1）根据∠BAC＝78°，由三角形内角和可求出∠ABC+∠ACB，再根据∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（90°∠ABC）﹣（90°∠ACB）计算即可；
（2）第一空，由三角形的外角的知识可知∠ABC+∠BAE＝∠BDE，∠AEC+∠DCE＝∠BDE，据此整理可得∠AEC＝∠ABC+∠BAE﹣∠DCE；接下来根据AD是∠ABC的角平分线，可知∠BAE∠BAC，结合∠ECB＝90°∠ACB，∠ABC＝42°，计算即可，同理解答第二空；
（3）根据CF平分∠ACB，可知∠FCB∠ACB，再根据∠FCE＝∠FCB+∠ECB，结合∠EBC＝90°∠ABC，计算即可证明结论．
解：（1）∵∠BAC＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝102°．
∵∠EBC＝90°∠ABC，∠ECB＝90°∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（90°∠ABC）﹣（90°∠ACB）＝180°﹣90°﹣90°（∠ABC+∠ACB）＝51°．
（2）∵∠ABC+∠BAE＝∠BDE，∠AEC+∠DCE＝∠BDE，
∴∠ABC+∠BAE＝∠AEC+∠DCE，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BAE﹣∠DCE．
∵AD是∠ABC的角平分线，
∴∠BAE∠BAC．
∵∠ECB＝90°∠ACB，∠ABC＝42°，
∴∠AEC＝∠ABC∠BAC﹣（90°∠ACB）
＝42°∠BAC﹣90°∠ACB
（∠BAC+∠ACB）+48°
（180°﹣∠ABC）+48°
＝21°．
∵∠ACB+∠DAC＝∠EDC，∠EBC+∠BEA＝∠EDC，
∴∠ACB+∠DAC＝∠EBC+∠BEA，
∴∠AEB＝∠ACB+∠DAC﹣∠EBC．
∵AD是∠ABC的角平分线，
∴∠DAC∠BAC．
∵∠EBC＝90°∠ABC，∠ACB＝64°，
∴∠AEB＝∠ACB∠BAC﹣（90°∠ABC）
＝64°﹣90°∠BAC∠ABC
＝64°﹣90°（180°﹣∠ACB）
＝32°．
故答案为：21，32；
（3）∵CF平分∠ACB，
∴∠FCB∠ACB．
∵∠EBC＝90°∠ABC，
∴∠FCE＝∠FCB+∠ECB∠ABC+（90°∠ABC）＝90°，
∴CF⊥CE．
【点评】此题考查的是三角形内角和定理，三角形内角和是180°．中小学教育资源及组卷应用平台
3第11章《三角形》单元核心思想方法（基本模型）专题卷
思想方法1 转化思想
1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
2．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，求∠A+∠B+∠C+∠F的度数．
思想方法2 方程思想
3．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC＝72°，∠C：∠ADB＝2：3，求∠BAC和∠DAE的度数．
思想方法3 分类讨论
4．△ABC中，∠A＝50°，BD、CE是它的两条高，直线BD、CE交于O，则∠DOE的度数为 ．
5．如图所示，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为 度．
思想方法4 整体思想
6．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为 ．
思想方法5 特殊到一般
7．△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠BMC的度数
（2）若MN⊥BC于N，∠A＝60°，求图中∠1﹣∠2的值；
（3）若∠BEC＝x，∠BDC＝y，求∠BMC度数．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点记∠PDA为∠1，∠PEB为∠2，∠DPE为∠α．
（1）若点P在线段AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，请猜想∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3所示，则∠α，∠1，∠2之间又有何关系？请直接写出结论，不用说明理由．
基本模型1 两条内角平分线的夹角
9．阅读下面材料，并解决问题．
【问题情境】如图1，已知在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°∠A；（不需证明）
【问题探究】（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝60°，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2．则∠BO1C＝ ，∠BO2C＝ ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠A＝146°，∠D＝100°，∠ABC，∠DCB的三等分线交于点O1，O2．求∠BO1C，∠BO2C的度数；
【问题解决】（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCE是四边形ABCD的外角，若∠A＝α，∠D＝β，∠ABC，∠DCE的三等分线交于点O1，O2．则∠BO1C＝ ，∠BO2C＝ ．（用含α，β的式子表示）．
基本模型2 一条内角平分线与一条外角平分线的夹角
10．已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．
（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ．
（2）若∠GOA∠BOA，∠GAD∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝ ．
（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，则∠OGA＝ （用含β的代数式表示）．
（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO＝β（30°＜β＜90°）求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）．
基本模型3 两条外角平分线的夹角
11．如图1，AD是△ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，∠EBC＝90°∠ABC，∠ECB＝90°∠ACB．
（1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ABC＝42°，则∠AEC＝ 度，若∠ACB＝64°，则∠AEB＝ 度；
（3）如图2．若CF平分∠ACB交AD于点F，求证：CF⊥CE．
