2.2 课时1 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 课件 (共20张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共20张PPT)
2.2 课时1 配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1. 会用直接开平方法解形如 (x+m)2＝n (n>0)的方程.
2. 理解配方法的基本思路，会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程.
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.
回顾2：平方根的意义是什么？
回顾1：4的平方根是±2，你还记得什么是平方根吗？
这两个数具有什么关系？
如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x = .
在上一节的问题中，梯子的底端滑动的距离x(m)满足方程x2 +12 x - 15 = 0.你还记得x的近似值吗？
x2 +12 x - 15 = 0
近似值：1.1＜x＜1.2
你知道如何求x的精确值吗？
问题1：说一说你会解哪些特殊的一元二次方程？
(1) x2=1
(2) x2=0
解:∵(±1) =1，
∴根据平方根的意义，
得x1=1，x2=-1.
解:∵0 =0，
∴根据平方根的意义，
得x1=x2=0.
问题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？
(1) x2=5
(2) 2x2+3=5
解：2x2 + 3 = 5
移项，得 2x2 = 2
x2 = 1
∴根据平方根的意义，
得x1=1， x2=-1.
解:∵( ) =5，
∴根据平方根的意义，
得
(3) x2+2x+1=5
(4) (x+6)2+72=102
解： x2 + 2x + 1 = 5
( x + 1)2 = 5
解： (x+6)2 + 72 = 102
移项，得 (x+6)2 = 102 -72
化简，得(x+6)2 = 51
类比 x2=5可得：
用(3)类似方法：
问题3：你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x-15 = 0
移项，得x2 + 12x=15
左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式
两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62
即 ( x + 6 )2 = 51
两边开平方，得
怎么办呢？
上述求解一元二次方程的思路是怎样的呢？
x2 + 12x-15 = 0
( x + 6 )2 = 51
解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n (n≥0)的形式.
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
一个完全平方式
大于等于0的常数
问题4：你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
问题5：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
x2 + 12x +_____ = (x+6)2
x2 - 4x +_____= (x - ___)2
x2 + 8x +_____= (x +___)2
62
22
2
42
4
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
二次项系数为1的完全平方式中，
常数项是一次项系数一半的平方.
追问：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
怎样解方程: x2+6x+4=0
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
转化
(x+3)2=5
左边化为x2+ax的形式
左边配成完全平方式
转化为 (x+m)2 = n 的形式
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9，而不是别的数呢？
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
x2 + 12x -15 = 0
( x + 6 )2 = 51
(x+3)2 =5
x2 + 6x+4 = 0
例 解方程 x2 + 8x - 9 = 0 .
分析：
x2+8x-9=0
x2+8x=9
移项
x2+8x+16=9+16
两边都加上16
转化
(x+4)2=25
x+4=±5
开平方
x1=1，x2=-9
解一元一次方程
例 解方程 x2 + 8x - 9 = 0 .
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，
得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ，
即 (x+4)2 = 25.
两边开平方，得
x + 4 = ± 5，
即 x + 4 =5 或 x + 4 = -5.
所以 x1 = 1，x2= -9.
用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
移项
配完全平方式
开平方
解一元一次方程
1.解下列方程
(1) x2 -10x + 25 = 7 ； (2)x2 -14x = 8；
解: (1) 移项，得 x2 -10x = -18．
两边都加52，得 x2-10x+52 = -18+52．
即 (x-5)2 = 7．
两边开平方，得
(2)两边都加72，得
x2-14x + 72 = 8+72．
即 (x-7)2 = 57．
两边开平方，得
1.解下列方程
(3)x2 + 3x = 1； (4)x2+2x+2 = 8x + 4.
解：(3)两边都加( )2，得
x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 ．
即 (x + )2 = ．
两边开平方，得
(4)解: 移项，得 x2 -6x = 2．
两边都加32，得 x2-6x+32 = 2+32．
即 (x-3)2 = 11．
两边开平方，得
2.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？
35 m
26 m
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
整理得：x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
3.游行队伍有 8 行 12 列，后又增加了 69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？
解：设增加 x 行．
(8＋x)(12＋x)－8×12＝69．
x2＋20x－69＝0．
(x＋23)(x－3)＝0．
x1＝－23(舍去)，x2＝3．
所以，增加了 3 行或 3 列．
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
形如（x + m）2 = n (n≥0)
将方程转化为（x+m）2 =n (n≥0)的
形式，在用直接开平方法，直接求根.
①移项 ②配完全平方式 ③开平方 ④解一元一次方程