2.3 课时1 公式法 课件 (共20张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共20张PPT)
2.3 课时1 公式法
1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和根的判别式.
2.能用公式法解数字系数的一元二次方程.
3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.
用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.
解：方程两边都除以 2，得
移项，得
x2 -2x = 3.
配方，得
x2 - 2x + 1 = 3 + 1，
即 (x - 1)2 = 4.
两边开平方，得
x - 1= ±2.
∴ x1= 3，x2= -1.
x2 - 2x - 3 = 0.
①化：二次项系数化为 1 ；
②移：将常数项移到等号右边；
③配：配方，使等号左边成为完全平方式；
④开：等号两边开平方；
⑤解：求出方程的解.
你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？
顺序可换
你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程.
解：方程两边都除以 a，得
配方，得
移项，得
能直接开方吗？
能直接开方吗？
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac≥0 时，
是一个非负数，此时两边才可以开平方.
开方，得
即
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程.
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，
当b2 - 4ac≥0 时，它的根是：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
求根公式
例 解方程.
(1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x.
分析：
②判断
(1) ①找对应系数：
a=1，b= -7，c= -18；
b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可.
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；
②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
③判断
b2 - 4ac≥0；
④代入求根公式即可.
解：
(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 =-2.
例 解方程.
(1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x.
例 解方程.
(1) x2 -7x-18 = 0 (2) 4x2 +1=4x
解： (2) 将原方程化为一般形式，得
4x2-4x + 1 = 0.
这里 a = 4，b = -4，c = 1.
∵ b2 - 4ac = (-4)2 -4×4×1 = 0，
∴
即
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
分析：∵a = 1，b = -2，c = 3，
∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0.
你是怎么想的呢？
根据求根公式的条件知：无法使用求根公式.
x2 -2x + 3 = 0
配方，得(x-1)2 =-2
由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根.
(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，当 b2-4ac＜0 时，它的根的情况是怎样的？
当 b2 - 4ac < 0时，
没有意义.
所以当 b2–4＜0 时，此方程无根.
对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)，
当b2 - 4ac ＞ 0 时，
把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
方程有两个不相等的实数根；
当b2 - 4ac = 0 时，
方程有两个相等的实数根；
当b2 - 4ac ＜ 0 时，
方程没有实数根.
Δ=b2 - 4ac
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
(2) 4x(x-1) + 3 = 0.
解：(1) 将方程化成一般形式：
2x2-7x + 5 = 0.
Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5
= 9 > 0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2) 将方程化成一般形式：
4x2-4x + 3 = 0.
Δ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3
= -24 < 0，
∴此方程没有实数根.
解：(1) a = 2，b = -9，c = 8.
∵ b2 - 4ac = (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0，
2.用公式法解下列方程：
(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；
(3) 16x2 + 8x = 3；
(4) x(x-3) + 5 = 0 .
解：(2) a = 9，b = 6，c = 1.
∵ b2 - 4ac = 62 - 4×9×1= 0，
2.用公式法解下列方程：
(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；
(3) 16x2 + 8x = 3；
(4) x(x-3) + 5 = 0 .
解：(3) 将方程化为一般形式，得 16x2+8x-3=0.
a = 16，b = 8，c = -3.
∵ b2 - 4ac = 82 - 4×16×(-3)= 256 > 0，
2.用公式法解下列方程：
(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；
(3) 16x2 + 8x = 3；
(4) x(x-3) + 5 = 0 .
2.用公式法解下列方程：
(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；
(3) 16x2 + 8x = 3；
(4) x(x-3) + 5 = 0 .
解：(4)将方程化为一般形式，得 x2-3x+5=0.
a = 1，b = -3，c = 5.
∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).
∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
求根公式：
用公式法求解一元二次方程
公式法：
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
根的判别式：
当Δ=b2 - 4ac ＞ 0 时，
方程有两个不相等的实数根；
当Δ=b2 - 4ac = 0 时，
方程有两个相等的实数根；
当Δ=b2 - 4ac ＜ 0 时，
方程没有实数根.