九年级数学上册 22.1 比例线段 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）
文档属性
| 名称 | 九年级数学上册 22.1 比例线段 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 943.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-07 20:57:30 | ||
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文档简介
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22.1 比例线段 导学案
（一）学习目标：
1.借助几何图形，直观理解成比例线段的概念。了解线段的比和比例线段的区别和联系，了解线段的比例中项。
2.掌握比例的基本性质，合比性质，等比性质，并会灵活运用。了解黄金分割和黄金数(比)巩固“k”法解答问题的广泛性。
3.理解平行线分线段成比例这个基本事实，及其推论。能利用这个基本事实及推论证明线段成比例，并会进行有关计算。在此过程中体会把一个复杂图形分解成几个基本图形。锻炼识图能力和推理论证能力。
（二）学习重难点：
重点：掌握比例的基本性质，合比性质，等比性质，并会灵活运用。
难点：了解线段的比和比例线段的区别和联系，了解线段的比例中项。
阅读课本，识记知识：
线段的比和成比例线段
（1）在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比；
（2）在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
2.比例尺
在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比值称为比例尺。
【注意】：比例尺实际上是两条线段的比，表示一个比例尺时顺序不能颠倒，必须是图上距离与实际距离的比，另外，在求比例尺时，图上长度与实际长度的单位必须统一，这时容易出错的地方。
3.比例的基本性质
（1）比例的基本性质：如果，那么；反过来，如果，那么。
（2）在比例式中，如果，那么。我们把叫做的比例中项。
（3）比例还有如下重要的性质：
（1） （2）
4.黄金分割
如图所示。点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比值称为黄金比。在计算中，通常取它的近似值0.618。
黄金三角形
顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，如在中，∠A=36，AB=AC,它具有如下的性质：
;
设BD是∠ABC底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；
如果再作∠C的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此连续下去，可得到一串黄金三角形。
【例1】如图，线段，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解．
【详解】解：设，则，，
∴，
故选：D．
【例2】 如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，过点作，证明，推出，进而得到，平行线分线段分比例推出，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，进而得到，得到为等腰直角三角形，得到即可．
【详解】解：过点作，
∵正方形，
∴，
∵E，F分别为的中点，
∴，
∴，
∴，（对应边上的高线相等）
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
选择题
1．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（ ）
A． B． C． D．
2．2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（ ）米．
A． B． C． D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
4．根据，可以组成的比例有（ ）
A． B． C． D．
5．已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
9．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
12．如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为 ．
14．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ．
15．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
三、解答题
16．对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由．
17.如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长．
18.如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，．
(1)试用，的式子表示向量；
(2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．D
【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一．
【详解】解：∵，
∴这幅地图的比例尺为．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，且，米，
米，
故选：D．
3．D
【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可．
本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴A不符合题意；
∵，
∴B不符合题意；
∵，
∴C不符合题意；
∵，
∴D符合题意；
故选D．
4．A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定及性质，弧长公式．
由垂线段最短可得当时，最短．此时，由点Q是的中点，可得，从而证得，得到，根据弧长公式即可解答．
【详解】解：如图，当时，最短．
连接，，
∵，即，
又，
∴，
∴，
∵点Q是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B
7．A
【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：如图：
A、当时，不能判定，故不符合题意；
B、当时，能判定，故符合题意；
C、当时，不能判定，故不符合题意；
D、当时，不能判定，故不符合题意；
故选：B．
10.C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
11.
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为，
当比例尺为时，图示距离为，
当比例尺为时，图上距离为，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可．
本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
13．6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．设与交于点，由题可知，直线为线段的垂直平分线，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设与交于点，
由题可知，直线为线段的垂直平分线，
，点为的中点，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：．
14．9
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
解得：，
∴，
故答案为：9．
15．
【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
16．见解析
【分析】本题主要考查了成比例线段．根据，即可求解．
【详解】解：∵在中，是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴ ，
∴是一组比例线段．
17．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；
【详解】解：，
，即，
．
18．(1)
(2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为，
【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．
（1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示；
（2）根据平面向量定理画图即可．
【详解】（1）解：，，
，
，即，
，，，方向相同，
，
，
；
（2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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22.1 比例线段 导学案
（一）学习目标：
1.借助几何图形，直观理解成比例线段的概念。了解线段的比和比例线段的区别和联系，了解线段的比例中项。
2.掌握比例的基本性质，合比性质，等比性质，并会灵活运用。了解黄金分割和黄金数(比)巩固“k”法解答问题的广泛性。
3.理解平行线分线段成比例这个基本事实，及其推论。能利用这个基本事实及推论证明线段成比例，并会进行有关计算。在此过程中体会把一个复杂图形分解成几个基本图形。锻炼识图能力和推理论证能力。
（二）学习重难点：
重点：掌握比例的基本性质，合比性质，等比性质，并会灵活运用。
难点：了解线段的比和比例线段的区别和联系，了解线段的比例中项。
阅读课本，识记知识：
线段的比和成比例线段
（1）在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比；
（2）在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
2.比例尺
在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比值称为比例尺。
【注意】：比例尺实际上是两条线段的比，表示一个比例尺时顺序不能颠倒，必须是图上距离与实际距离的比，另外，在求比例尺时，图上长度与实际长度的单位必须统一，这时容易出错的地方。
3.比例的基本性质
（1）比例的基本性质：如果，那么；反过来，如果，那么。
（2）在比例式中，如果，那么。我们把叫做的比例中项。
（3）比例还有如下重要的性质：
（1） （2）
4.黄金分割
如图所示。点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比值称为黄金比。在计算中，通常取它的近似值0.618。
黄金三角形
顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，如在中，∠A=36，AB=AC,它具有如下的性质：
;
设BD是∠ABC底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；
如果再作∠C的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此连续下去，可得到一串黄金三角形。
【例1】如图，线段，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解．
【详解】解：设，则，，
∴，
故选：D．
【例2】 如图，在正方形中，E，F分别为的中点，与相交于点P，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，过点作，证明，推出，进而得到，平行线分线段分比例推出，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，进而得到，得到为等腰直角三角形，得到即可．
【详解】解：过点作，
∵正方形，
∴，
∵E，F分别为的中点，
∴，
∴，
∴，（对应边上的高线相等）
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
选择题
1．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（ ）
A． B． C． D．
2．2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（ ）米．
A． B． C． D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．、、、 B．、、、
C．、、、 D．、、、
4．根据，可以组成的比例有（ ）
A． B． C． D．
5．已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，，，则等于（ ）
A．10 B．8 C．9 D．6
9．在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
12．如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ．
13．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交边于点D．连接．若，，则的长为 ．
14．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ．
15．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
三、解答题
16．对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由．
17.如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长．
18.如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，．
(1)试用，的式子表示向量；
(2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1．D
【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一．
【详解】解：∵，
∴这幅地图的比例尺为．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，且，米，
米，
故选：D．
3．D
【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可．
本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴A不符合题意；
∵，
∴B不符合题意；
∵，
∴C不符合题意；
∵，
∴D符合题意；
故选D．
4．A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定及性质，弧长公式．
由垂线段最短可得当时，最短．此时，由点Q是的中点，可得，从而证得，得到，根据弧长公式即可解答．
【详解】解：如图，当时，最短．
连接，，
∵，即，
又，
∴，
∴，
∵点Q是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：B
7．A
【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴＝，
解得：，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：如图：
A、当时，不能判定，故不符合题意；
B、当时，能判定，故符合题意；
C、当时，不能判定，故不符合题意；
D、当时，不能判定，故不符合题意；
故选：B．
10.C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
11.
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为，
当比例尺为时，图示距离为，
当比例尺为时，图上距离为，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可．
本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
13．6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．设与交于点，由题可知，直线为线段的垂直平分线，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设与交于点，
由题可知，直线为线段的垂直平分线，
，点为的中点，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：．
14．9
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
解得：，
∴，
故答案为：9．
15．
【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
16．见解析
【分析】本题主要考查了成比例线段．根据，即可求解．
【详解】解：∵在中，是斜边上的高线，
∴，
∴，
∴ ，
∴是一组比例线段．
17．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可；
【详解】解：，
，即，
．
18．(1)
(2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为，
【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．
（1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示；
（2）根据平面向量定理画图即可．
【详解】（1）解：，，
，
，即，
，，，方向相同，
，
，
；
（2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，．
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