4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共38张PPT） 高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共38张PPT)
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
今天我们来学习方程的根与函数的零点！
你会求什么方程的根呢？
1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.(难点)
2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点)
3.学习掌握求函数的零点.(重点)
通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养
体会课堂探究的乐趣，
汲取新知识的营养，
让我们一起 吧！
进
走
课
堂
微课1：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次
函数的图象，观察二者有何联系？
(1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
(2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
(3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
你知道方程对应的函数是怎么找的吗？
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0
.
.
.
.
.
x
y
O
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
y=x2-2x+3
函数的图象
与x轴的交点
.
.
.
.
.
y
x
－1
2
1
1
2
O
x
y
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
0
.
方程ax2+bx+c
=0(a＞0)的根
函数y=ax +bx
+c(a＞0)的图象
判别式Δ=
b2－4ac
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
函数的图象
与x轴的交点
有两个相等的
实数根x1=x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1、
x2
一般结论
一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
函数零点的定义：
零点指的是一个实数，
不是一个点
方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
结论
现在知道 如何求没有公式的方程的根了吗？
A
【即时训练】
例1 函数f(x)=x(x－4)的零点为( )
A．(0，0)，(2，0) B．0
C．(4，0)，(0，0)， D．4，0
D
【解析】选D.由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.
解方程是求函数零点的一种方法
B
【变式练习】
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
O
-1
-2
-1
-4
-3
-2
微课2：
对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0(填“＜”或
“＞”)．
x=－1
－4
5
<
x=3
<
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
O
-2
-1
-4
-3
-2
-1
x
y
O
a
b
c
d
思考：观察图象填空
有
<
有
<
有
<
①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或
“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零
点；
②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零
点；
③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)
零点；
x
y
O
a
b
c
函数零点存在的判断
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.
方程lnx= 必有一个根的区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.( ,1) D.(3,+∞)
B
【解题关键】
将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断
【即时训练】
例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.( )
(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )
(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.( )
解析：(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0 ，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一
个零点. ( )
a
b
O
x
y
如图,
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
满足条件一定有零点，但不确定有几个
可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.
故论断不正确.
(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
( )
a
b
O
x
y
如图,
虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)< 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不一定存在零点，故论断不正确.
(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.( )
a
b
O
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象
是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,
b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )
A.大于0 B.小于0
C.无法判断 D.等于0
C
【变式练习】
f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，
但是函数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)<0不一定成立.
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；
例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
解：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
解析：求方程 的根的个数，即求方程
的根的个数，即判断函数
与
的图象交点个数.由图可
知只有一个解.
y=x
1
O
x
1
2
3
4
y
【变式练习】
数形结合
估算f(x)在各整数处的取值的正负：
令
由上表可知，方程的根所在区间为
x 0 1 2 3
f(x)
－
+
＋
＋
可根据图象确定大体区间
C
函数的零点
与方程的解
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
直观想象：通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养
应用函数零点存在定理时注意函数图象的连续性
数形结合：借助函数图象与x轴交点确定零点及方程的根
转化法：函数的零点转化为方程的根，转化为函数图象与x轴的交点
函数零点的定义
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数　　　　　　 中，ac<0,则其零点的个
数为(　　)
Ａ.１　　　Ｂ.２　　　Ｃ.３　　Ｄ.不存在
2.若　　　　不是常数函数且最小值为１，则　　　　　　
的零点个数(　　)
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
D
B
(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)
1
3
6.若方程ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)当a=0时，f(x)=-x-1，其零点为-1 (0，1)，所以a≠0； (2)当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一解，即二次函数f(x)=ax2-x-1在(0，1)内恰有一个零点，所以f(0) f(1)＜0， 即-1×(a-2)＜0，解得a＞2．
故a的取值范围为(2，+∞)．
　　如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了.