1.1 第1课时 菱形的性质 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
北师版九年级上册 第一章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
第一课时 菱形的性质
前 言
学习目标及重难点
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力;
3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展逻辑推理能力.
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知识回顾
问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
平行四边形的性质：
边：对边______且_________.
对角线：_________________
角：对角_________,邻角_________.
对称性：___________________________.
平行
相等
互相平分
相等
互补
平行四边形是中心对称图形
活动:观察下列图片中的平行四边形，你能发现它们有怎样的共同特征？
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问题1:结合以上图片中平行四边形的特征，你能给菱形下一个定义吗？
平行四边形
菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
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探索1：菱形的概念
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形
菱形集合
平行四边形集合
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探索2：菱形的性质
活动1：动手操作，四人一组，将课前准备好的平行四边形剪成菱形.
测量
折叠
重合
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活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形；
有两条对角线作为对称轴，
两条对称轴互相垂直.
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问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将结论进行归纳.
边
角
对角线
对称性
两组对边平行且四条边都相等
对角相等，邻角互补
对角线互相垂直且平分
每一条对角线平分一组对角
既是中心对称图形又是轴对称图形
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已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
例1
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（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
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菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
对称性：是中心对称图形.
边：对边平行且相等.
角：对角相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
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随堂小练习
1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线
AC与BD相交于点O，图中的等腰三角
形有______________________________，
直角三角形有_____________________________ ，而且它们是________（“全等”或“不全等”）.
△ABD, △BCD，△ABC,△ADC
△ABO，△ADO,△BCO,△CDO
全等
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2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和为360°
B.对角线互相垂直
C.对边平行
D.对角线互相平分
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
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例2
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在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形.
习题解析
习题1
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直).
∴∠AOB=90°.
∴BO= =3(cm).
∴BD=2BO=2×3=6(cm).
【选自教材P4页 随堂练习】
习题2
习题解析
已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形.
【选自教材P4页 习题1.1 第1题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°，
又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°，
∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形.
习题解析
习题3
如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长.
【选自教材P4页 习题1.1 第2题】
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
AO=OC，BO=DO（菱形的对角线互相平分）.
在Rt△AOD中，AO=4，DO=3，∴AD=5.
∴菱形 ABCD 的周长为 20.
习题解析
已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：AC平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC和∠ADC.
【选自教材P4页 习题1.1 第3题】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
同理： AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
习题4
习题解析
拓展提升
如图，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角.
(1) 求证：AD⊥BF；
(2) 若BF=BC，求∠ADC的度数.
A
B
C
E
D
F
∵ 四边形ABCD，ADEF都是菱形
解(1):
∴ AB=AD，
AF=AD
∴ AB=AF
∵ 在等腰三角形ABF中，∠BAD=∠FAD
∴ AD⊥BF
习题解析
(2)
∵ BF=BC，且AB=BC=AF
∴ AB=BF=AF
∴ △ABF是等边三角形
∴ ∠BAF=60°
∴ ∠BAD= ∠FAD= 30°
∵ 在菱形ABCD中，AB∥ CD
∴ ∠ADC=180°-∠BAD
=150°
A
B
C
E
D
F
课程总结
小结
菱形的性质
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
边
角
两组对角分别相等，
邻角互补
对角线
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半