1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册

(共22张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
北师版九年级上册 第一章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
第三课时 矩形的性质与判定的综合应用
前 言
学习目标及重难点
1.回顾矩形的性质及判定方法．（重点）
2.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.（难点）
课程导入
矩形的相关知识有哪些？
它的定义是什么？
你能从练习本上画一个矩形吗？
矩形的相关知识有哪些？
你能说说矩形有什么性质吗？
性质
两组对边分别平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
轴对称图形
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矩形的相关知识有哪些？
怎样判定一个四边形是不是矩形呢？
判定
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
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探索1：根据矩形的性质求线段的长
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
∟
思考：线段AE和哪条线段有关系？
这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
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∟
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，
∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
1：3
等边三角形
∠BAE
等边三角形
∠ADE
∟
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD,
AO=CO= AC，BO=DO= BD.
∴AO=BO=DO= BD
∵ED=3BE，∴BE=OE.
又∵AE⊥OE，∴AB=AO.
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∟
∴AB=AO=BO，△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°
∴AE= AD= ×6=3
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已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形.
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，再结合已知条件和图形可以得到∠DAE=90°，最后根据矩形的判定定理证明.
∟
例2
∟
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN= ∠CAM.
∴∠DAE= ∠CAD+∠CAN
= （∠BAC+∠CAM）
= ×180°
=90°
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∟
在△ABC中，
∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形.（有三个角是直角的四边形是矩形）
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想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；
（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.
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解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；
想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图
（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.
解：DF∥AB，DF= AB．理由如下：
∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB
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习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，
∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∠FAN＝∠ECM，
AN＝CM，
∠ANF＝∠CME
∴△ANF≌△CME(ASA)．
∴AF＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8.
设CE＝x，则EM＝BE＝8－x，CM＝10－6＝4.
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.
∴四边形AECF的面积为CE·AB＝5×6＝30.
习题解析
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习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
习题解析
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.
∴∠ODC＝∠DCO＝54°.
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题3
习题解析
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OA，OC的中点，连接BM，DN，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE.
(1)求证：△AMB≌△CND；
证明：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝CO.又∵点M，N分别为OA，OC的中点，∴AM＝CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAM＝∠DCN. ∴△AMB≌△CND(SAS)．
习题解析
(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
解：∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.
又∵BM＝EM，∴DN＝EM.∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO.∴∠MBO＝∠NDO. ∴ME∥DN.
∴四边形DEMN是平行四边形．
∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO.
∴∠AMB＝∠EMN＝90°. ∴四边形DEMN是矩形．
∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO.
∴MN＝6. ∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.