1.3 第2课时 正方形的判定 课件(共23张PPT) 北师版九年级上册

(共23张PPT)
1.3 正方形的性质与判定
北师版九年级上册 第一章
课程讲授
课程导入
习题解析
课堂总结
第二课时 正方形的判定
前 言
学习目标及重难点
1.探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；（重点）
2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .（难点）
课程导入
什么是正方形？
正方形有哪些性质？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1.正方形的四个角都是直角，四条边相等.
2.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分.
课程讲授
新课推进
探索1：正方形的判定
如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.
课程讲授
新课推进
正方形和矩形、菱形有什么关系？满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
课程讲授
新课推进
【猜想1】当矩形的________________时，会变成一个正方形.
一组邻边相等
课程讲授
新课推进
【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形.
对角线互相垂直
试证明对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
归纳
通过矩形判定正方形：
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AB=AD，
所以四边形ABCD是正方形.
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
AC⊥BD，
所以四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
满足什么条件的菱形是正方形？
【猜想1】当菱形的________________时，会变成一个正方形.
一个角是直角
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
满足什么条件的菱形是正方形？
【猜想2】当菱形的________________时，会变成一个正方形.
对角线相等
试证明对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
课程讲授
新课推进
课程讲授
新课推进
通过菱形判定正方形：
判定方法1：有一个角是直角的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC=90°，
所以四边形ABCD是正方形.
判定方法2：对角线相等的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
AC=BD，
所以四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
归纳
课程讲授
新课推进
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
思考：通过什么方式证明四边形BECF是正方形？
思路一：先证明四边形BECF是菱形，然后证明四边形BECF中有一个角是直角；
思路二：先证明四边形BECF是矩形，然后证明四边形BECF中有一组邻边相等.
例1
课程讲授
新课推进
【思路二】
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC=∠ECB=45°，∴EB=EC. ∵BF∥CE，CF ∥BE，
∴∠FBC=∠ECB=45°，∠FCB=∠EBC=45°，
∴∠EBF=∠ECF=∠BEC=90°，∴矩形BECF是正方形.
课程讲授
新课推进
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.
任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
A
D
C
B
A1
B1
C1
D1
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形.
证明思路：
利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1
=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
下列说法正确的是(　　)
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B
习题解析
习题2
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC
B．BD＝DF
C．AC＝BF
D．CF⊥BF
C
习题3
习题解析
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD.
习题解析
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．
由(1)知，△BED≌△CFD，
∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
习题解析
拓展提升
如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形．
课程总结
小结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结