中小学教育资源及组卷应用平台
3第21章《一元二次方程》单元核心考点专题卷
核心考点一 一元二次方程的概念
1．若方程（a－3）x2＋x0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a＝3 B．a≤－3 C．a≠3 D．a≥3
2．方程5x2＝6x－8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 、 、 ．
核心考点二 解一元二次方程
3．按照指定方法解下列方程：
（1）（2x－1）2＝9 （用直接开平方法）
（2）2x2－9x＋8＝0 （用配方法）
（3）x2－2x－3＝0 （用求根公式法）
（4）7x（5x＋2）＝6（5x＋2）（用因式分解法）
核心考点三 一元二次方程的根的判别式
4．关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有实数根，求m的取值范围．
5．已知关于x的一元二次方程：x2－（t－1）x＋t－2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）若方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，求整数t的值．
核心考点四 一元二次方程的根与系数的关系
6．已知方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）（x1－1）（x2－1）；
（2）x2＋x1；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（1）（1）．
核心考点五 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
7．已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）（a＋2b）＝20，求m的值．
8．关于x的一元二次方程x2＋（2m－3）x＋m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且1，求m的值．
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2满足3x1＝x2＋2，求m的值．
核心考点六 一元二次方程的应用
(一)数字问题
10．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．
(二)循环问题
11．某校九年级二班数学兴趣小组的同学们，元旦节前每位同学向本组其他成员各赠送一张贺卡，全组共互赠了182张，求这个数学兴趣小组的人数．
(三)分支问题
12．某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支．
(四) 传染问题
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
(五)增长率问题
14．为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022－2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
(六)营销问题
15．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）如果每件盈利30元，平均每天可售出多少件？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
(七)面积问题
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm2？
（2）当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
（3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？
17．如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
3第21章《一元二次方程》单元核心考点专题卷
核心考点一 一元二次方程的概念
1．若方程（a－3）x2＋x0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a＝3 B．a≤－3 C．a≠3 D．a≥3
【思路点拔】根据一元二次方程的定义得出a－3≠0，求出即可．
解：∵（a－3）x2＋x0是关于x的一元二次方程，
∴a－3≠0，
∴a≠3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．方程5x2＝6x－8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 5 、 －6 、 8 ．
【思路点拔】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：5x2＝6x－8化成一元二次方程一般形式是5x2－6x＋8＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是－6，常数项是8．
故答案为：5；－6；8．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
核心考点二 解一元二次方程
3．按照指定方法解下列方程：
（1）（2x－1）2＝9 （用直接开平方法）
（2）2x2－9x＋8＝0 （用配方法）
（3）x2－2x－3＝0 （用求根公式法）
（4）7x（5x＋2）＝6（5x＋2）（用因式分解法）
【思路点拔】（1）直接利用开平方法解方程；
（2）先变形为x2x＝－4，然后利用配方法解方程；
（3）利用求根公式法解方程；
（4）先移项得到7x（5x＋2）－6（5x＋2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）2x－1＝±3，
所以x1＝2，x2＝－1；
（2）x2x＝－4，
x2，
（x）2，
x±，
所以x1，x2；
（3）△＝（－2）2－4×（－3）＝16，
x，
所以x1＝3，x2＝－1；
（4）7x（5x＋2）－6（5x＋2）＝0，
（5x＋2）（7x－6）＝0，
5x＋2＝0或7x－6＝0，
所以x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．
核心考点三 一元二次方程的根的判别式
4．关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有实数根，求m的取值范围．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义得出m≠0，根据一元二次方程有实根，得出Δ≥0，解不等式即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝16－12m≥0，且m≠0．
解得：且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2－4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
5．已知关于x的一元二次方程：x2－（t－1）x＋t－2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）若方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，求整数t的值．
【思路点拔】（1）先求出判别式的值，根据Δ≥0时，方程有实数根，即可得出结论；
（2）先因式分解法求出方程的解，再根据方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍列出方程，解方程可求整数t的值．
（1）证明：∵Δ＝[－（t－1）]2－4×（t－2）＝（t－3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：x2－（t－1）x＋t－2＝0，
（x－t＋2）（x－1）＝0，
解得x1＝t－2，x2＝1，
∵方程的两个根中，其中一个根是另一个根的3倍，
∴t－2＝3×1，
解得t＝5；
或3（t－2）＝1，
解得t（舍去）．
故整数t的值为5．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，同学们需要注意培养自己解决综合题的能力，第二问关键是求出方程的解．
核心考点四 一元二次方程的根与系数的关系
6．已知方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）（x1－1）（x2－1）；
（2）x2＋x1；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（1）（1）．
【思路点拔】（1）先将原式化为x1x2－（x1＋x2）＋1，再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解；
（2）先将原式化为x1x2（x1＋x2），再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解；
（3）先将原式化为，再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解；
（4）先将原式化为（x1＋x2）2－2x1x2，再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解；
（5）先将原式化为，再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解；
（6）先将原式化为1，再运用x1＋x2＝3，x1x2＝1即可求解．
解：（1）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝1－3＋1＝－1；
（2）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式＝x1x2（x1＋x2）＝3；
（3）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式3；
（4）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式＝（x1＋x2）2－2x1x2＝9－2＝7；
（5）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式7；
（6）∵x1＋x2＝3，x1x2＝1，
∴原式1＝1＋3＋1＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系及完全平方公式，属于基础题，解题的关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
核心考点五 根的判别式及根与系数的关系的综合运用
7．已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）（a＋2b）＝20，求m的值．
【思路点拔】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2－4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m，再将（2a＋b）（a＋2b）＝20变形可得2（a＋b）2＋ab＝20，将a＋b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
（1）证明：∵Δ＝[－（2m＋1）]2－4（m2＋m）
＝4m2＋4m＋1－4m2－4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a＋b2m＋1，abm2＋m，
∵（2a＋b）（a＋2b）
＝2a2＋4ab＋ab＋2b2
＝2（a2＋2ab＋b2）＋ab
＝2（a＋b）2＋ab，
∴2（a＋b）2＋ab＝20，
∴2（2m＋1）2＋m2＋m＝20，
整理得：m2＋m－2＝0，
解得：m1＝－2，m2＝1，
∴m的值为－2或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，，．
8．关于x的一元二次方程x2＋（2m－3）x＋m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且1，求m的值．
【思路点拔】（1）根据根的判别式求出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可以求得方程的两根的和与积，将1转化为关于m的方程，求出m的值并检验．
解：（1）根据题意，知（2m－3）2－4m2＞0，
解得m；
（2）由题意知x1＋x2＝－（2m－3）＝3－2m，x1 x2＝m2，
由1，即1可得1，
解得：m＝1（舍去）或m＝－3，
所以m的值是－3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2，x1 x2，此题难度不大．
9．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若x1，x2满足3x1＝x2＋2，求m的值．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝20－4m≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x1＋x2＝6①、x1 x2＝m＋4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1＝x2＋2③或3x1＝－x2＋2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（－6）2－4（m＋4）＝20－4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5；
（2）∵关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝6①，x1 x2＝m＋4②．
∵3x1＝x2＋2③，
∴联立①③解得：x1＝2，x2＝4，
∴8＝m＋4，m＝4；
∴m的值为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝20－4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值．
核心考点六 一元二次方程的应用
(一)数字问题
10．有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这两个数大18，求这个两位数．
【思路点拔】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数＋18，把相关数值代入求得整数解即可．
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为（x－3）．可列方程为：
x2＋（x－3）2＝10（x－3）＋x＋18
解得x1＝7，x2＝1.5（舍），
∴x－3＝4，
∴10（x－3）＋x＝47．
答：这个两位数为47．
【点评】考查一元二次方程的应用，用到的知识点为：两位数＝10×十位数字＋个位数字，解题的关键是能够表示这个两位数．
(二)循环问题
11．某校九年级二班数学兴趣小组的同学们，元旦节前每位同学向本组其他成员各赠送一张贺卡，全组共互赠了182张，求这个数学兴趣小组的人数．
【思路点拔】根据共送出贺卡数＝共有人数×每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意x取正整数．
解：设这个数学兴趣小组的人数x人，根据题意得：
x（x－1）＝182，
解得：x1＝14，x2＝－13（不合题意，舍去），
答：这个数学兴趣小组的人数是14人．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出．
(三)分支问题
12．某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支．
【思路点拔】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据“一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程求得x的值．
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2＋x＋1＝43，
解得：x＝6或x＝－7（不合题意，舍去）．
答：每个支干长出6个小分支．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
(四) 传染问题
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【思路点拔】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1＋x＋x（x＋1）＝64
x＝7或x＝－9（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
（2）64×7＝448（人）．
答：第三轮将又有448人被传染．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
(五)增长率问题
14．为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022－2024年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
【思路点拔】（1）根据“2022年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元”列方程求解；
（2）2025年购买羽毛球拍的费用＝2024年购买羽毛球拍的费用＋2024年增长的购买羽毛球拍的费用计算即可．
解：（1）设2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为x，
则：2000（1＋x）2＝2880，
解得：x＝0.2，或x＝－2.2（舍去），
答：2022年到2024年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为20%；
（2）2880×（1＋20%）＝3456（元），
答：2025需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系的解题的关键．
(六)营销问题
15．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）如果每件盈利30元，平均每天可售出多少件？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？
【思路点拔】（1）利用平均每天可售出数量＝20＋2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件，利用该商店每天销售该种商品获得的总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可得出每件商品降价5元．
解：（1）20＋2×（40－30）＝40（件）．
答：平均每天可售出40件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件，
依题意得：（40－x）（20＋2x）＝1050，
整理得：x2－30x＋125＝0，
解得：x1＝5，x2＝25．
又∵每件盈利不少于25元，
∴40－x≥25，
解得：x≤15，
∴x＝5．
答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(七)面积问题
16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
（1）当移动几秒时，△BPQ的面积为20cm2？
（2）当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
（3）当移动几秒时，△BPQ与△ABC相似？
【思路点拔】（1）设出时间t，表示出每条线段的长度，利用面积公式列出方程即可．
（2）表示出△BPQ的面积，用△ABC面积减去△BPQ的面积等于108cm2，解方程即可．
（3）根据两边对应成比例，夹角相等，列出比例式即可，注意分类讨论对应边．
解：（1）解：设运动时间为ts（0≤t＜6），则PB＝（12－2t）cm，BQ＝4tcm．
由题意，得，
解得t1＝1，t2＝5．
故当移动1s或5s时，△BPQ的面积为20cm2．
（2）由题意，
，
解得t＝3．
故当移动3s时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）可分以下两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，即，解得t＝3．
②当△BPQ∽△BCA时，，即，解得．
综上所述，当移动3s或时，△BPQ与△ABC相似．
【点评】本题考查了动点问题，相关知识点有：相似三角形的判定、分类讨论思想等，表示出线段的长度是解题关键．
17．如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 6 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 6＋4 ．
【思路点拔】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5＋1）×（b－1），可解得答案；
（2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a＋1）（b＋2）＝2s，故（a＋1）（2）＝2s，2a2＋（2－s）a＋s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2－s）2－8s＝0，可解得答案．
解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴5b＝（5＋1）×（b－1），解得：b＝6，
故答案为：6；
（2）根据题意知b，
∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），
∴（a＋1）（b＋2）＝2s，
∴（a＋1）（2）＝2s，
整理得：2a2－s＝0，
∴2a2＋（2－s）a＋s＝0，
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，
∴Δ＝0，即（2－s）2－8s＝0，
解得s＝6－4（不符合题意，舍去）或s＝6＋4，
故答案为：6＋4．
【点评】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程．
