第二章 一元二次函数、方程和不等式（含答案）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷

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第二章 一元二次函数、方程和不等式——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若集合,,则( )
A. B. C. D.
2．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4．已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
5．设,,则( )
A. B. C. D.
6．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
7．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
8．已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列四个不等式中解集为R是( )
A. B.
C. D.
10．下列结论正确的是( )
A.设，则的最小值是 B.当时，的最小值是2
C.当时， D.当时，的最大值是1
11．若实数x,y满足,则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．不等式的解为___________.
13．若直角三角形的面积等于,则两条直角边的和的最小值是__________.
14．已知一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点在线段上，则的最大值是_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）比较与的大小，并证明；
（2）比较与的大小，并证明.
16．设，关于x的不等式的解集为.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集.
17．已知正实数x，y满足等式.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值.
18．已知函数.
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
(2)当时，求函数的最小值，并求y取最小值时x的值.(结果保留根号)
19．已知关于x的不等式.
（1）若原不等式的解集为或,求a的值;
（2）若,且原不等式的解集中饸有7个质数元素,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：,,因此,.
2．答案：C
解析：，
.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
4．答案：A
解析：由可得:,所以,
由可得:,所以,
故
所以.
故选:A.
5．答案：B
解析：因为,,所以,则,则A错误.因为,所以.因为0,所以,即,所以,即,则B正确.当,时,,则C错误.因为,所以,则D错误.
6．答案：B
解析：因为,
所以,
故选：B.
7．答案：B
解析：解析因为，，所以.
答案B
8．答案：C
解析：由题意得.由基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则，因此实数m的取值范围是.故选C.
9．答案：CD
解析：对于A，不等式化为，
计算，则不等式对应方程有两个不等的实数根，所以原不等式的解集不是R；
对于B，不等式中，计算，则不等式对应方程有两个不等的实数根，所以原不等式的解集不是R；
对于C，不等式化为，
计算，则不等式对应方程没有实数根，所以原不等式的解集是R；
对于D，不等式化为，即恒成立，
所以原不等式的解集是R.
故选：CD.
10．答案：CD
解析：对于选项A：不是定值，不是的最小值，故选项A错误；
对于选项B：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，但，故取不到等号，故2不是的最小值，故选项B错误；
对于选项C：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：当，即时，
，
当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.
故选：CD.
11．答案：BD
解析：当,时,,故A错误;
因为,所以,所以,故B正确;
当时,因为,所以与都是负数,
所以,故C错误;
因为,
当时,由得,两边同乘,得,即;
当时,由得,两边同乘,得,即,
所以,故D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：因为，所以.
故答案为：.
13．答案：8
解析：
14．答案：或0.5
解析：因为，，
所以，由可得，
所以
故答案为：.
15．答案：（1），证明见解析；
（2），证明见解析.
解析：（1）证明：因为，所以.
（2）证明：因为，所以.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的不等式恒成立，
所以，解得，
所以m的取值范围为；
（2）不等式等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，，此时不等式的解集为或；
当时，，此时不等式的解集为.
17．答案：（1）3；
（2）
解析：（1），即，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为3.
（2），
当且仅当，时等号成立，即.
18．答案：(1)见解析
(2)最小值为，y取最小值时
解析：(1)由函数，图象如图：
递增区间为，递减区间为；(注：写成，也可以)
(2)当时，，
等号当且仅当时成立，
的最小值为，y取最小值时.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,1是关于的方程,
即0的两根,
则,且,
解得.
（2）不等式可化为,
因为,所以关于的方程的两根为1,,
因为关于的不等式的解集中恰有7个质数元素,
且,
所以,
解得,即a的取值范围为.
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