第五章 三角函数（含答案）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷

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第五章 三角函数——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线对称，若，则( )
A. B. C. D.
2．已知扇形的圆心角为,面积为,则该扇形的半径为( )
A. B. C. D.
3．已知,则( )
A. B. C. D.
4．为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
5．已知，则( )
A. B. C. D.
6．若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
7．若角的终边上有一点,且,则( )
A.4 B. C.-1 D.
8．已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,,其中小正方形的面积为4,大正方形面积为9,则下列说法正确的是( )
A.每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
10．已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边位于第三象限,且与单位圆O交于点,则( )
A. B. C. D.
11．下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数()在区间上的最大值为2,则实数的取值范围为______.
13．如图1,这是一副扇形装饰挂画,可将其视为如图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成的）,米.该扇形环面的周长为4米,则该扇形环面的面积是__________平方米.
14．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16．已知.
（1）求的值;
（2）求的值.
17．已知函数.求：
（1）函数的最小正周期；
（2）方程的解集；
（3）当时，函数值域.
18．已知函数满足,其中,将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像.
（1）求;
（2）求函数的解析式;
（3）求在上的最值及相应的x值.
19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求B；
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：角和角的终边关于直线对称，则，，
故选B
2．答案：A
解析：
3．答案：A
解析：依题意,得,即,
解得或（舍去）,故
故选:A.
4．答案：D
解析：因为,所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选:D.
5．答案：A
解析：令，，则，
所以，
故选：A.
6．答案：C
解析：将函数的图象向右平移个单位长度得：
，
由，，可得，，
所以的对称中心为，.
故选：C.
7．答案：C
解析：由已知,得,解得.
因为,所以,则.
故选：C.
8．答案：A
解析：由题知.因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，所以，得，所以，易知当时，单调递增，即在上单调递增，又在区间上单调递增，所以，所以，即的取值范围为.故选A.
9．答案：ACD
解析：四个直角三角形全等,大正方形的面积为9,小正方形的面积为4,
每一个直角三角形的面积为,A正确;
,
,故B错误;
,,且,,
,故D正确;
,C正确.
故选:ACD.
10．答案：ACD
解析：由,得.又是第三象限角,,所以,
所以,,,故A正确、B错误;
,故C正确;
,
则,故D正确.
11．答案：AC
解析:,故A正确;,故B错误;
,故C正确;,故D错误.故选AC.
12．答案：
解析:当时,,则,由题意可得,.
13．答案：0.96
解析：设,米,则弧AB的长度,弧CD的长度.因为该扇形环面的周长为5米,所以,即4,整理得.则该扇形环面的面积平方米.
14．答案：
解析：设，依题意可得，
解得，
故该扇环的面积为.
故答案为：.
15．答案：（1）7；
（2）
解析：（1），①
，②
由①②得，③
由①②得，④
由③④得.
（2），，，
，，，
，
，
，
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以,
又,,
则,,
所以.
（2）,
由,,得,所以的值为.
17．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）
，
所以函数的最小正周期；
（2）令，
则，所以，，
所以方程的解集为；
（3）当时，，
所以函数的值域为.
18．答案：（1）2
（2）
（3）当时,取得最小值,当时,取得最大值
解析：（1）函数,
又,
,,解得,
又,;
（2）由（1）知,函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数）的图像;
再将得到的图像向左平移个单位,得到的图像,
函数;
（3）当时,,,
由（2）知,
函数的大致图像如图:
所以当时,取得最小值,
当时,取得最大值.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
又，所以.
（2）由（1）得，
所以，且，
所以，，
所以，解得，
由正弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
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