人教版八年级上册数学同步练习卷 13.3.2 等边三角形（含解析）

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人教版八年级上册数学同步练习卷
13.3.2 等边三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，三点在同一直线上，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，①；②平分；③；④；⑤，下列结论中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）．
A．， B．，
C． D．
3．下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等边对等角
B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．三个角都是60°的三角形是等边三角形
4．如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，，，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．相交或者平行
6．如图，等边的边长为，分别是上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．下列定理中，逆定理不存在的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都等于
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的面积相等
9．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形
10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形．其中正确结论的个数是（ ）．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
11．下列命题中：
①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；
④有一个角是60°的三角形是等边三角形；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
正确命题的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，是等边三角形，是上的高，，图中与（除外）相等的线段共有（ ）条
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
14．如图，在中，，，交于点，，则的长是 ．
15．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长m的范围是 ．
16．如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②是等边三角形；③；④平分；⑤．其中正确的是 ．（填所有正确结论的序号）
17．如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ．
18．如图，在面积为4的等边△ABC的BC边上有一点D，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接BE．则四边形AEBD的面积是 ．
19．如图，已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD=2若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为 ；

20．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且，BE与CD相交于点P，则的度数为 ．
三、解答题
21．如图，在中，，点分别在边、上，，连结、．
(1)若，求证：．
(2)若，求、的大小．
(3)若，则的大小为__________度（用含的代数式表示）．
22．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．

(1)求证：是的平分线；
(2)若，，．求的长．
23．已知，，是的三边长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简：．
24．在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，求的长．（提示：过点作，垂足为．）
参考答案：
1．C
【详解】解：①和为等边三角形，
，，
，
，故①正确；
由（1）中的全等得，
，
，故⑤正确；
∴，
都是等边三角形，
，则为等边三角形，
，
，，
，
，故④错误；
，
，
，
，
，故③正确；
作，，如图所示：
，
，
平分，故②正确；
2．D
【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°．
∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意；
B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意；
C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180° ∠A ∠B=60°，
∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意；
D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意，
3．C
【详解】解：A、等边对等角的逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为：
到线段两端的距离的点在线段垂直平分线上，成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为：
对应角相等的三角形为全等三角形，不成立，符合题意；
D、三个角都是60°的三角形是等边三角形的逆命题为：
等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意；
4．C
【详解】解：作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时， 连接，如下图：
∵为等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即：的最大值是5．
5．A
【详解】解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAB=∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
在AOC和ABD中，，
∴（SAS），
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°－∠ABO－∠ABD=60°=∠AOB，
∴，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAB=∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
在AOC和ABD中，，
∴（SAS），
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°－∠ABO－∠ABD=60°=∠AOB，
∴，
6．A
【详解】因为等边三角形的边长为，
所以，
因为沿直线折叠，点落在点处，
所以，，
所以阴影部分图形的周长为：
.
7．B
【详解】试题分析：根据已知条件易证△AOB、△AOC、△BOC，△BOD、△COE、△ODE均为等腰三角形．故答案选B．
8．D
【详解】A. 等边三角形的三个内角都等于，逆定理为：三个内角都等于的三角形是等边三角形，此定理存在，不符合题意，
B. 在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等，逆定理为：在一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边相等，此定理存在，不符合题意，
C. 同位角相等，两直线平行，逆定理为：两直线平行，同位角相等，此定理存在，不符合题意，
D. 全等三角形的面积相等，逆定理为：面积相等的三角形是全等三角形，此定理不存在，符合题意，
9．A
【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
10．C
【详解】解：∵等边和等边，
∴，，，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵可知为等边三角形，故⑥正确；
∴，
∴，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∵，
∴，
∵等边，，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
11．A
【详解】解：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，是真命题；
②等腰三角形的高、中线、顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，是假命题；
12．D
【详解】∵等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AD⊥BC，
∴ BD= DC
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠DAC=30°
∴∠EDA=∠DAE=30°
∴ED=EA，
又DE//AC
∴∠EDB =∠C=60°，
∴∠EDB =∠B
∴△EDB为等边三角形，DE= DB=BE，
∴DE= DB=BE=EA=DC，
所以图中与 BD （ BD 除外）相等的线段共有4条，
13．（答案不唯一）
【详解】解：∵在中，，
∴
∴是等腰三角形，
添加条件，
∴是等边三角形，
14．6
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．
【详解】试题分析：根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可．
试题解析：如图，EF∥BC时，EF为最短面径，
此时，，
即，
解得EF=，
等边三角形的高AD是最长的面径，
AD=，
所以，它的面径长m的范围是可以是＜m＜.
16．①②④
【详解】解：、是等边三角形，
，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，，
，
，
是等边三角形，故②正确；
，
，
，
，
不一定等于，
不一定等于，
不一定等于，
，
不一定垂直于，故③错误；
如图：过点C作于点G，于点H，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故④正确；
，
不一定等于，
不一定等于，故⑤错误，
17．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
∴
∵是的中点，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，又
∴是等边三角形，
∴的周长为，
18．4.
【详解】解：∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB与△ADC中，，
∴△AEB≌△ADC，
∴S△AEB=S△ADC，
∴四边形AEBD的面积=等边△ABC的面积=4．
19．．
【详解】解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴∠DAC=30°
∴PE=AP
当BP⊥AC时，AP+BP=PE+BP的值最小，
此时，EP=PD
而PE=AP
∴AP=．
20．120°/120度
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
又，
，
，
，
，，
，
．
21．【详解】（1）证明：在中，，，则，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：在中，，，则，
，
是等边三角形，则，
；
，
；
（3）解：，
，则，
在中，，则，
在中，，则，
故答案为：．
22．【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵于点D，于点E，
∴：是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴．
23．(1)等边三角形；(2)．
（）利用三角形的三边关系得到，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）∵，
∴且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形；
（2）∵，，是的三边长，
∴，，
∴．
24．2
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，又，，
，
，
，
，，
，
．
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