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人教版九年级上册数学同步练习卷
第21章 单元测试
一、单选题
1．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
2．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ）
A．3 B．3或-3 C．-3 D．不等于3的任意实数
3．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
4．下列方程中，常数项为零的是（ ）
A．x2+x=1 B．2x2-x-12=12 C．2(x2-1)=3(x-1) D．2(x2+1)=x+2
5．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）=2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）=2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1 D．（2+2x）（1+2x）=2×1×90%
6．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
8．一元二次方程3x2-5x+1=0的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若mn-(m+n)=-7，则a的值为 ( )
A．-10 B．4 C．-4 D．10
10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为 ．
12．若关于的方程的一个根的值是．则另一根 ， ．
13．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，则有 人参加聚会．
14．已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根，则α2+αβ+3α+β的值是 ．
15．方程化为一般形式是 ， ，用求根公式求得 ， ．
16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数c的值：c= ．
17．已知，，则，的大小关系是 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．若方程无实数根，化简：
21．用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
22．阅读新知：化简后，一般形式为的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解的解．
解：设，则原方程可化为：，解之得
当时，， ∴；
当时 ∴．
综上，原方程的解为：，
（1）通过上述阅读，请你求出方程的解；
（2）判断双二次方程根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)．
①当时，原方程一定没有实数根；
②当时，原方程一定有实数根；
③原方程无实数根时，一定有．
23．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
24．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了棵，已知这些学生在初一时种了棵，若平均成活率，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
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人教版九年级上册数学同步练习卷
第21章 单元测试
一、单选题
1．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．3 B．-3 C．9 D．-9
【答案】B
【详解】∵x=3是方程的一个根，
∴a=9，
∴x2=9，
直接开方得，x1=3，x2=-3，
∴一元二次方程的另一个根是x=-3．
2．已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ）
A．3 B．3或-3 C．-3 D．不等于3的任意实数
【答案】B
【详解】把x=0代入2x2-x+m2-9=0得m2-9=0，
所以m=3或-3．
3．已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
【答案】B
【详解】解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；
方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．
4．下列方程中，常数项为零的是（ ）
A．x2+x=1 B．2x2-x-12=12 C．2(x2-1)=3(x-1) D．2(x2+1)=x+2
【答案】D
【详解】A．由原方程得 x2+x﹣1=0，常数项是﹣1．故本选项不符合题意；
B．由原方程得 2x2﹣x﹣24=0，常数项是﹣24．故本选项不符合题意；
C．由原方程得 2x2﹣3x+1=0，常数项是1．故本选项不符合题意；
D．由原方程得 2x2-x=0，常数项是0．故本选项符合题意．
5．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）=2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）=2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1 D．（2+2x）（1+2x）=2×1×90%
【答案】B
【详解】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1．
6．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：x2-2x=4，
x2-2x+1=4+1，即（x-1）2=5，
7．关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，
一元二次方程的求根公式为x=.
8．一元二次方程3x2-5x+1=0的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】试题解析：∵在方程3x2-5x+1=0中，△=（-5）2-4×3×1=13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若mn-(m+n)=-7，则a的值为 ( )
A．-10 B．4 C．-4 D．10
【答案】C
【详解】根据题意得m＋n＝3，mn＝a，
而mn （m＋n）＝ 7，
则a 3＝ 7，
所以a＝ 4．
10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
二、填空题
11．已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为 ．
【答案】x2－6x+5=0
【详解】解：一个未知数为x，则另一个未知数为6-x，
所以x(6-x)=5，
化简得x2－6x+5=0，
故答案为：x2－6x+5=0．
12．若关于的方程的一个根的值是．则另一根 ， ．
【答案】1,2
【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系可知： =3， =q，又∵的值是2，由此可以求出另一根x2及q的值=1，q=2．
考点：一元二次方程的根与系数的关系
13．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，则有 人参加聚会．
【答案】12
【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意得：
=66
整理得：x2﹣x﹣132=0，即（x﹣12）（x+11）=0．
解得：x=12或x=﹣11（舍去），
则有12人参加聚会．
14．已知α、β方程x2＋2x-5=0的两根，则α2+αβ+3α+β的值是 ．
【答案】-2．
【详解】试题分析：欲求α2+αβ+3α+β的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
试题解析：∵α，β是方程x2+2x-5=0的两个实数根，
∴α+β=-2，
又∵α2+αβ+3α+β=α（α+β）+2α+（α+β），
∴α2+αβ+3α+β=-2α+2α-2=-2．
考点：1.根与系数的关系；2.一元二次方程的解．
15．方程化为一般形式是 ， ，用求根公式求得 ， ．
【答案】
【详解】去括号：2x2+4x+x+2=3，
移项，合并同类项得：，
则，
故x=，
即，，
16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数c的值：c= ．
【答案】0（答案不唯一）；
【详解】因为方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，建立关于c的不等式，求出c的取值范围，在这个范围内即可．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=22-4c＞0，
解得： c＜1,
故答案为0．（答案不唯一）
17．已知，，则，的大小关系是 ．
【答案】
【详解】x﹣y=a2+b2+18﹣（8b+4a﹣3）=a2+b2+18﹣8b﹣4a+3=（a﹣2）2+（b﹣4）2+1．
∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2+1＞0，也就是x＞y．
故答案为x＞y．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
移项，得，
因式分解，得，
∴，，
∴；
（2）解：，
原方程可化为，
因式分解，得，
即，
于是得或，
∴．
19．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1) (2)
(3) (4)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）
原方程可化为，
，
或，
；
（3），
，
；
（4）
原方程可化为，
或，
，．
20．若方程无实数根，化简：
【答案】
【详解】根据方程无实数根，可列不等式，解之即可得出k的取值范围，再根据k的取值范围化简即可.
解：方程无实数根，
，解得，
∴.
21．用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)， (2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，；
（2），
，
两边直接开平方，得，
解得，．
22．阅读新知：化简后，一般形式为的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解的解．
解：设，则原方程可化为：，解之得
当时，， ∴；
当时 ∴．
综上，原方程的解为：，
（1）通过上述阅读，请你求出方程的解；
（2）判断双二次方程根的情况，下列说法正确的是 （选出正确的答案)．
①当时，原方程一定没有实数根；
②当时，原方程一定有实数根；
③原方程无实数根时，一定有．
【答案】（1）；（2）①
【详解】试题分析：（1）按阅读材料中给的换元法依照所给题的解题方法进行解答即可；
（2）根据所给的条件分别讨论即可得.
试题解析：（1）设，则原方程可化为：，解之得
当时，，此时原方程无解；
当时 ∴．
综上，原方程的解为：
（2）①当时，原方程一定没有实数根，这是正确的；
②当时，原方程不一定有实数根，如方程x4+3x2+2=0，b2-4ac=32-4×1×2=1>0，此时x2=-1或x2=-2，所以原方程无实数根，故②不正确；
③原方程无实数根时，一定有，由①、②可得说法不正确，
故正确的是①.
23．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1) (2)，
(3)， (4)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
原方程整理，得，
，
，
，
，；
（3），
，
，
，
，；
（4），
原方程整理，得．
，
，
，
，．
24．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了棵，已知这些学生在初一时种了棵，若平均成活率，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
【答案】
【详解】设这个年级两年来植树数的年平均增长率我x，
由题意得：初二时植树数为：，
那么这些学生在初三时的植树数为：；
由题意得：．
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