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人教版九年级上册数学同步练习卷
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．设一元二次方程2x2﹣4x﹣3＝0两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1x2＝3 B．x1+x2＝﹣4 C．x1+x2＝2 D．x1x2＝
【答案】C
【详解】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣3＝0两个实根为x1和x2，
∴x1+x2＝2、x1x2＝﹣，
2．设，是方程的两个实数根，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵一元二次方程 的两个根分别为，，
∴，，
∴，
∴，则，
∴，解得，
3．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，
∴△＞0即而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
B、M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝也大于0，故N的两个根也是同号的，故此选项不符合题意；
C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合题意；
D、比较方程M与N可得：，
∴，
∵a·c≠0，a≠c，
∴，
4．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：因为一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，
所以x1+x2＝﹣＝4，x1x2＝＝1．
所以x1+x2﹣2x1x2
＝4﹣2×1
＝2
5．关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①若，方程有一根为1，
又，则，故正确；
②两根关系可知，，整理得：，故正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，可知，
故方程必有两个不相等的实数根，故正确；
④若，则，
即方程有两个不相等的实数根，故正确；
6．已知a，b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．14 B． C． D．10
【答案】A
【详解】解：，是方程的两个根，
，即，，
则原式
，
7．若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，
∴
，
8．若关于x的方程有一个根是3，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵方程有一个根是3，
∴，
解得：，
9．一直角三角形的两直角边长分别为方程的两根，则它的面积是（ ）
A．5 B．7 C．10 D．35
【答案】A
【详解】设方程的两根为
∵在中，
∴
∴三角形的面积为：
10．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴
11．已知方程x2﹣4x+k＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( )
A．1 B．0 C．﹣5 D．5
【答案】D
【详解】设该方程的另一根为m，
利用根与系数的关系：
得：m﹣1＝4，
解得：m＝5．
12．若一元二次方程x2﹣7x+5=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=7、ab=5，
则一次函数的解析式为y=5x+7，
∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
二、填空题
13．已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．
【答案】﹣2
【详解】解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
14．设a≠b，且a2+3a＝b2+3b＝4，则ab2+a2b＝ ．
【答案】12
【详解】解：∵a2+3a＝b2+3b＝4，且a≠b
∴a、b是一元二次方程x2+3x-4=0的两个实数根
∴a+b=-3，ab=-4
∴ab2+a2b= ab（a+b）=-4×（-3）=12
15．若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
16．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
【答案】3
【详解】解：∵△=，
解得：m＞，
根据韦达定理可得：a+b=2m+3，ab=，
∴，
解得：m=3或－1，
∵m＞，
∴m=3．
17．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
当时，
．
18．设一元二次方程的两实根分别为和，则 ， ．
【答案】 6 4
【详解】∵方程的两实根分别为和，
∴6，4，
19．已知是方程的两根，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程的两根，
20．已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则 ．
【答案】-1
【详解】设x2+2(m 2)x+m2+4=0的两个实数根为：x1，x2，
∴x1+x2=2(2 m)，x1 x2=m2+4，
∵这两根的平方和比两根的积大21，
∴x12+x22 x1 x2=21，
即：(x1+x2)2 3x1 x2=21，
∴4(2 m)2 3(m2+4)=21，
解得：m=17或m= 1，
∵ =4(2 m) 2 4(m2+4)≥0，
解得：m≤0，
∴m= 1．
三、解答题
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若时，求方程两根的值．
【答案】【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴总有两个实数根；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系知：，
而，
∴．
22．已知关于x的一元二次方程：．
(1)当a为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．
【答案】(1) (2)，另一个根为
【详解】（1）解：∵，即
依题意，
∵方程总有两个不相等的实数根
∴
解得：；
（2）解：设方程的两个根分别为，其中，
∵
∴，
∴，
23．已知，，是一元二次方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）∵，，是一元二次方程的两根，
∴，．
；
（2）
；
（3）
．
24．计算：
(1)|2﹣|+（π﹣3.14）0+2sin60°
(2)解方程：
【答案】（1）3；（2）或.
【详解】解：（1）原式=2-+1+
=3
（2）∵
∴
∴
∴或
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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．设一元二次方程2x2﹣4x﹣3＝0两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1x2＝3 B．x1+x2＝﹣4 C．x1+x2＝2 D．x1x2＝
2．设，是方程的两个实数根，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是( )
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
4．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣2x1x2的值为（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
5．关于x的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知a，b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．14 B． C． D．10
7．若a，b为一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．若关于x的方程有一个根是3，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
9．一直角三角形的两直角边长分别为方程的两根，则它的面积是（ ）
A．5 B．7 C．10 D．35
10．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．6
11．已知方程x2﹣4x+k＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( )
A．1 B．0 C．﹣5 D．5
12．若一元二次方程x2﹣7x+5=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
13．已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．
14．设a≠b，且a2+3a＝b2+3b＝4，则ab2+a2b＝ ．
15．若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ．
17．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
18．设一元二次方程的两实根分别为和，则 ， ．
19．已知是方程的两根，则代数式的值为 ．
20．已知关于的方程有两个实根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则 ．
三、解答题
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若时，求方程两根的值．
22．已知关于x的一元二次方程：．
(1)当a为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．
23．已知，，是一元二次方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
24．计算：
(1)|2﹣|+（π﹣3.14）0+2sin60°
(2)解方程：
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