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4第21章《一元二次方程》单元检测卷
(测试范围:第21章 解答参考时间:120分钟 满分:120分)
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．若方程（a＋3）x2＋x＋9＝0是关于x的一元二次方程，则有（ ）
A．a＝3 B．a≠3 C．a＝－3 D．a≠－3
【思路点拔】根据一元二次方程的定义，列出关于a的不等式，然后求a的取值范围．
解：根据题意，得
a＋3≠0，
解得，a≠－3；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
2．若x＝2是关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．－2
【思路点拔】根据根与系数的关系：x1＋x2即可求得．
解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，
∴2＋x1＝5，
∴x1＝3，
∴此方程的另一个根是3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2，x1 x2．
3．用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方正确的是（ ）
A．（x－2）2＝3 B．（x－2）2＝4 C．（x＋2）2＝3 D．（x－2）2＝7
【思路点拔】先把－3移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
解：∵x2－4x－3＝0，
∴x2－4x＝3，
∴x2－4x＋4＝3＋4，
∴（x－2）2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0 B．±1 C．－1 D．4
【思路点拔】将x＝0代入（a－1）x2－2x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，再根据一元二次方程的定义确定a的值即可．
解：将x＝0代入（a－1）x2－2x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，
解得a＝±1，
∵一元二次方程a－1≠0，
∴a≠1，
∴a＝－1，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的解及解一元二次方程的定义是解题的关键．
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1－x）2＝3.7 B．3.2（1＋x）2＝3.7
C．3.7（1－x）2＝3.2 D．3.7（1＋x）2＝3.2
【思路点拔】根据2020年的人均可支配收入×（1＋年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
解：由题意得：3.2（1＋x）2＝3.7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【思路点拔】先利用第四象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2－4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．已知方程x2－14x＋48＝0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．8
【思路点拔】解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．
解：方程x2－14x＋48＝0的两个根是6和8．也就是Rt△ABC的两条边的长是6和8．
当6和8都是直角边时，第三边10．
当8为斜边时，第三边．
故第三边长是10或2．
故选：C．
【点评】考查了勾股定理，因式分解法解一元二次方程．知道直角三角形的两边，要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论．
8．若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则（1＋x1）＋x2（1－x2）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．－2
【思路点拔】方程左边可用十字相乘法因式分解，求出x1，x2的值，代入代数式进行计算即可．
解：由题意得（x－2）（x＋1）＝0，
x－2＝0或x＋1＝0，
解得x1＝－1，x2＝2，
∴（1＋x1）＋x2（1－x2）＝1＋x1＋x21－1＋2－22＝－2．
故选：D．
【点评】本题本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2，x1x2．
9．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为（ ）
A.－1 B.1 C.－3 D.3
【思路点拔】根据勾股定理可知a2＋b2＝c2，再根据b－a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
解：由图可得，
a2＋b2＝c2，
∴且a、b均大于0，
解得，
∴每个直角三角形的面积为ab12×16＝96，
故答案为：96．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
10．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a＋b）n展开式的系数规律．
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．－4 C．2或4 D．2或－4
【思路点拔】观察题中的图表，表示出（a＋b）4，根据已知代数式的值为1，确定出x的值即可．
解：根据题意得：（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
∴x4－12x3＋54x2－108x＋81
＝x4＋4x3 （－3）＋6x2 （－3）2＋4x （－3）3＋（－3）4
＝（x－3）4，
∴（x－3）4＝1，
开四次方得：x－3＝1或x－3＝－1，
解得：x＝2或4．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是 5 ．
【思路点拔】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得－4t＝－20，然后解一次方程即可．
解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得－4t＝－20，
解得t＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，则x1＋x2，x1x2．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k＜1且k≠0 ．
【思路点拔】当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k≠0且，然后解两个不等式即可求解．
解：根据题意得k≠0且，
解得k＜1且k≠0；
故答案为：k＜1且k≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac，熟练掌握判别式的应用是关键．
13．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，则n的值为 10 ．
【思路点拔】由该直线上的点共形成了45条线段，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：根据题意，得45，
解得n1＝10，n2＝－9（舍去）．
所以n＝10．
答：n的值是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 5 m．
【思路点拔】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100－2x）m，宽为（50－2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100－2x）m，宽为（50－2x）m的矩形，
根据题意得：（100－2x）（50－2x）＝3600，
整理得：x2－75x＋350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．已知x2－x－1＝0，计算的值是 ．
【思路点拔】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2＝x＋1，继而可得答案．
解：原式＝[]
，
∵x2－x－1＝0，
∴x2＝x＋1，
∴原式1．
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
16．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a－c≠0，以下列四个结论中正确的是 ①②④ （填写序号）．
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1；
④如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根．
【思路点拔】利用根的判别式可判断①；根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；由a＋c＝0可知a、c异号，故方程M两根异号，则可判断②；用方程M－方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，则可判断③；将x＝5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，则可判断④；则可得出答案．
解：∵在方程ax2＋bx＋c＝0中Δ＝b2－4ac，在方程cx2＋bx＋a＝0中Δ＝b2－4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；
∵方程M有两根符号相同，
∴ac＞0，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，故②正确；
方程两边分别相减可得：（a－c）x2＋c－a＝0，即（a－c）x2＝a－c，
∵a－c≠1，
∴x2＝1，解得：x＝±1，故③错误；
、∵5是方程M的一个根，
∴25a＋5b＋c＝0，
∴ac＝0，
∴是方程N的一个根，故④正确；
综上可知正确的结论为①④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
三．解答题（共8题，共72分）
17．（本题8分）（1）解方程：x2－2x－3＝0；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
【思路点拔】（1）利用因式分解法把方程转化为x－3＝0或x＋1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x－2）2＝11，然后利用直接开平方法解方程．
解：（1）x2－2x－3＝0，
（x－3）（x＋1）＝0，
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1；
（2）x2－4x－7＝0，
x2－4x＝7，
x2－4x＋4＝11，即（x－2）2＝11，
∴x－2＝±，
∴x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x－6＝0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
【思路点拔】根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根，再根据两根之和求出k则可．
解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1＝－6，
∴x1＝－3．
由韦达定理：－3＋2＝k＋1，
∴k＝－2．
当k＝－2时，Δ＞0，
k＝－2．
【点评】本题考查了韦达定理（即根与系数的关系）的应用，注意这个定理的应用条件，在求出k的值以后要检验一下方程是否有解．因为定理应用的条件是原方程有解．
19．（本题8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【思路点拔】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意建立一元二次方程，求解即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得（1＋x）2＝144，
解得x1＝11，x2＝－13（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染11个人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
20．（本题8分）已知关于x的方程x2＋2mx－（m＋1）＝0，若两根倒数的和比两根倒数的积小1，求m的值．
【思路点拔】根据根与系数的关系解答．
解：设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝－（m＋1），
由题意可知：1，即：1，
∴1，
解得：m；
此时：Δ＝4m2＋4（m＋1）＝4（m2＋m＋1）＝4×（1）0；
∴m．
【点评】本题考查了根与系数的关系，要知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2，x1 x2．
21．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
【思路点拔】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m－1）2－4（m2－1）≥0，
整理得：－4m＋5≥0，
解得：m；
（2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2m，x1x2＝m2－1，
∵x12＋x22＝9，
∴（x1＋x2）2－2x1x2＝9，即（1－2m）2－2（m2－1）＝9，
整理得：m2－2m－3＝0，即（m－3）（m＋1）＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝－1，
则m的值为－1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．（本题10分）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
【思路点拔】（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，求解，并保留符合题意的答案即可；
（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，根据实际售价乘以降价后的销量等于3月份的销售额，列方程求解，并验证是否符合题意，从而问题可解．
解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：
40×100（1＋x）2＝5760
∴（1＋x）2＝1.44
∴1＋x＝±1.2
∴x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（舍去）
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．
（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：
（40－y）（100＋10y）＝5760
∴y2－30y＋176＝0
∴（y－8）（y－22）＝0
∴y1＝8，y2＝22
当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40－22＝18＜30，不合题意，舍去
∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40－8＝32元
∴3月份该玩具的销售价格为32元．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确单价乘以销量等于销售额及平均增长率类型习题的计算方法，是解题的关键．
23．（本题10分）如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．设前n行的和为Sn，则S1＝1，S2＝1＋2，S3＝1＋2＋3，．
（1）甲同学说，Sn能取36；而乙同学说，Sn也能取63．甲、乙的说法对吗？若对，求出n；若不对，请试用一元二次方程说明理由．
（2）如果把图的三角点阵中各行的点数一次换为2，4，6，8…2n，…
①此时前n行的点数的和是 n（n＋1） ；
②这个三角点阵中前n行的点数的和能是90吗？若果能，求出n；若果不能，请试用一元二次方程说明理由．
【思路点拔】（1）由于前n行共有n（n＋1）个点，分别令n（n＋1）＝36，n（n＋1）＝63，然后解方程得到n的值，即可判断甲、乙的说法是否正确；
（2）①根据2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝2n（n＋1）＝n（n＋1），即可求解；
②令n（n＋1）＝90，求出n的值即可判断．
解：（1）甲的说法对，
令n（n＋1）＝36，
整理得n2＋n－72＝0，
解得n1＝8，n2＝－9（不合题意舍去），
所以甲的说法对，此时n＝8；
乙的说法不对，理由如下：
令n（n＋1）＝63，
整理得n2＋n－126＝0，
解得n（不合题意舍去），
所以乙的说法不对；
（2）①由题意可得：
2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝2n（n＋1）＝n（n＋1）．
故答案为：n（n＋1）；
②依题意，得n（n＋1）＝90，
整理得n2＋n－90＝0，
（n＋10）（n－9）＝0，
∴n1＝－10（不合题意舍去），n2＝9，
∴n＝9．
故这个三角点阵中前n行的点数的和能是90，此时n的值是9．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据探索列出关于n的一元二次方程是解题的关键．
24．（本题12分）如图，△ABC、△AED都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠E＝90°，AE＝a，AB＝b，且（a＜b），点D在AC上，连接BD，BD＝c，如果c，b＝ka．
（1）求k的值；
（2）若a，b是关于x的方程x2－mx0的两根，求m．
【思路点拔】（1）延长ED交BC于点F，表示出DF、BF，然后利用勾股定理列出方程，再把ca代入求出a、b的关系即可；
（2）利用根与系数的关系表示出a＋b，ab，然后消掉a、b得到关于m的一元二次方程，然后求解即可；
解：（1）如图，延长ED交BC于点F，
DF＝b－a，BF＝a，
在Rt△DHB中由勾股定理得，a2＋（b－a）2＝c2，
又∵ca，
∴（a－2b）（3a－2b）＝0，
∴a＝2b或3a＝2b，
又∵a＜b，
∴k；
（2）由根与系数的关系a＋b＝m，ab，
由a＋b＝m，，
解得am，bm，
∴，
整理得，m2＋2m－3＝0，
解得m1＝－3，m2＝1
∵a＋b＝m＞0，
∴m＝1，
当m＝1时，方程为x2－x0，这个方程有两个不相等的正根，
∴m＝1符合题意．
【点评】本题考查了根与系数的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记根与系数的关系是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
4第21章《一元二次方程》单元检测卷
(测试范围:第21章 解答参考时间:120分钟 满分:120分)
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．若方程（a＋3）x2＋x＋9＝0是关于x的一元二次方程，则有（ ）
A．a＝3 B．a≠3 C．a＝－3 D．a≠－3
2．若x＝2是关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．－2
3．用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方正确的是（ ）
A．（x－2）2＝3 B．（x－2）2＝4 C．（x＋2）2＝3 D．（x－2）2＝7
4．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0 B．±1 C．－1 D．4
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.2（1－x）2＝3.7 B．3.2（1＋x）2＝3.7
C．3.7（1－x）2＝3.2 D．3.7（1＋x）2＝3.2
6．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
7．已知方程x2－14x＋48＝0的两根恰好是Rt△ABC的两边的长，则Rt△ABC的第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．8
8．若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则（1＋x1）＋x2（1－x2）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．－2
9．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为（ ）
A.－1 B.1 C.－3 D.3
10．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a＋b）n展开式的系数规律．
当代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B．－4 C．2或4 D．2或－4
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x的方程x2＋mx－20＝0的一个根是－4，则它的另一个根是 ．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
13．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，则n的值为 ．
14．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 m．
15．已知x2－x－1＝0，计算的值是 ．
16．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，其中a－c≠0，以下列四个结论中正确的是 （填写序号）．
①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1；
④如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根．
三．解答题（共8题，共72分）
17．（本题8分）（1）解方程：x2－2x－3＝0；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x－6＝0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
19．（本题8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
20．（本题8分）已知关于x的方程x2＋2mx－（m＋1）＝0，若两根倒数的和比两根倒数的积小1，求m的值．
21．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2＋（2m－1）x＋m2－1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
22．（本题10分）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
23．（本题10分）如图，是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…．设前n行的和为Sn，则S1＝1，S2＝1＋2，S3＝1＋2＋3，．
（1）甲同学说，Sn能取36；而乙同学说，Sn也能取63．甲、乙的说法对吗？若对，求出n；若不对，请试用一元二次方程说明理由．
（2）如果把图的三角点阵中各行的点数一次换为2，4，6，8…2n，…
①此时前n行的点数的和是 ；
②这个三角点阵中前n行的点数的和能是90吗？若果能，求出n；若果不能，请试用一元二次方程说明理由．
24．（本题12分）如图，△ABC、△AED都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠E＝90°，AE＝a，AB＝b，且（a＜b），点D在AC上，连接BD，BD＝c，如果c，b＝ka．
（1）求k的值；
（2）若a，b是关于x的方程x2－mx0的两根，求m．
