九年级数学上册 22.2 相似三角形的判定 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）
文档属性
| 名称 | 九年级数学上册 22.2 相似三角形的判定 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-08 13:17:09 | ||
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文档简介
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22.2 相似三角形的判定 导学案
（一）学习目标：
1.掌握相似三角形的判定定理。
2.理解相似三角形判定定理的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题。
（二）学习重难点：
重点：运用相似三角形的判定定理解决简单的有关问题.
难点：相似三角形的判定定理的探索及证明过程.
阅读课本，识记知识：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【例1】已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【详解】∵由图可知，，
∴，，
A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似；
B．选项中三角形各角的度数分别是，，不与相似；
C．选项中三角形各角的度数分别为，，不与相似；
D．选项中三角形各角的度数分别为，，与相似；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
【例2】 如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：，，
，
故①单独能够判定；
，，
，
故②单独能够判定；
由③不能判定，
，，
，
故④单独能够判定；
其中单独能够判定的条件有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
选择题
1.已知△ABC的三边长是,,2,与△ABC相似的三角形的三边长可能是 ( )
A.1,, B.1,, C.1,, D.1,,
2.若△ABC和△DEF满足下列条件,则能使△ABC与△DEF相似的是 ( )
A.AB=6,BC=6,AC=9,DE=4,EF=4,DF=6
B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=15
C.AB=1,BC=,AC=2,DE=,EF=,DF=
D.AB=1,BC=,AC=3,DE=,EF=2,DF=
3.如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若=,则下列结论正确的是 ( )
A.△AOD∽△COB B.△ABD∽△ACD
C.△ABC∽△DBC D.△AOB∽△DOC
5.下列命题中不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．各有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
6．如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7.如图所示,AB、CD相交于点O,连接AC,BD,添加下列一个条件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是 ( )
A.∠A=∠D B.= C.∠B=∠C D.=
8.如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11． 如图,在边长为1的正方形网格中有P、A、B、C 4个点,则图中所形成的三角形中, 和 是相似三角形.
12.如图，在中，点、分别是边、上的点，若要使，则需添加的条件是 ．（只填一个条件即可）
13．如图,BD平分∠ABC,且AB=2,BC=3,则当BD= 时,△ABD∽△DBC.
14．如图,△ABC中,AB=3 cm,BC=4 cm,AC=6 cm.动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度沿AB向点B运动,同时动点Q从点B出发,以每秒1 cm的速度沿BC向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒),则t= 时,△PBQ与△ABC相似.
15．如图，在边长为的正方形中，点，分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
三、解答题
16．如图所示,网格中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
17.如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．
18.如图，在四边形中，，交于点E，点F在上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使，并给出证明．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】 A
【分析】∵△ABC的三边长是,,2,∴△ABC的三边长的比为∶2∶=1∶∶,∴与△ABC相似的三角形的三边长可能是1,,.故选A.
【答案】 A
【分析】A项,因为===,所以△ABC与△DEF相似,故A选项符合题意;B项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故B选项不符合题意;C项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故C选项不符合题意;D项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故D选项不符合题意.故选A.
3.D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，，
∴，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】 A
【分析】∵=,∠AOD=∠BOC,∴△AOD∽△COB.故选A.
5．D
【分析】根据相似三角形判定定理进行判定即可．
【详解】解：A、斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
B、两个等腰直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
C、各有一个角等于的两个等腰三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
D、两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是判断命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题真假关键是首先要熟悉课本中定理．
6．C
【分析】根据分别求出个三角形的三边长，再根据相似三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，，
A、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
B、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，则，则该三角形与相似，故本选项符合题意；
D、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．【答案】 D
【分析】由题图可得,∠AOC=∠BOD,所以要使△AOC∽△DOB,只需再添加夹该等角的两边成比例或另一角相等即可,所以题中选项A、B、C均符合题意,而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC,BD与OD的夹角也不是∠BOD,所以其不能判定两个三角形相似.故选D.
8．D
【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9．D
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故A能判定；
∵，，
∴，
故B能判定；
∵，，
∴，
故C能判定；
∵，不是夹角，
∴不能判定与相似，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11.答案 △APB;△CPA
解析 由题意可得AP==,PB=1,PC=5,AB=,AC=,∴===,∴△APB∽△CPA.
12. （答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当，
则，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．【答案】
【解析】 ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴当=时,△ABD∽△DBC,∴=,∴BD=(舍负).
14．【答案】 或
【解析】 据题意得AP=t cm,PB=(3-t)cm,BQ=t cm(0≤t≤3),当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,∴=,即=,解得t=;当∠BPQ=∠C时,△BPQ∽△BCA,∴=,即=,解得t=,∴当t=或时,△PBQ与△ABC相似.
15．①④/④①
【分析】证明，再利用全等三角形的性质结合余角性质得，①正确，利用勾股定理求，利用等面积法，求得可得②不正确，再证，求出，，，可断定，④正确，通过得到，则，可得③不正确．
【详解】四边形为正方形，，，
、为、中点，，
，
，，，，
， ①正确，
， ，
，故②错误，
为中点，，
，由，，
，，
，，故④正确，
，而，则，
，与不平行，③错误
故答案为：①④．
【点睛】本题考查三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的高，面积，直角三角形的斜边中线，知识较多有一定难度，解题时注意利用线段关系减计算相应的线段长．
16．【解析】 △ABC和△DEF相似.
理由如下:根据勾股定理,得AB=2,BC=5,AC=;DF=2,DE=4,EF=2,
∵===,
∴△ABC∽△DEF.
17.见解析
【分析】先根据等边对等角得到，进而得到，再由即可证明．
【详解】证明：，
，
，
， ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
18.
【分析】在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
【详解】解：添加条件．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定的理解及运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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22.2 相似三角形的判定 导学案
（一）学习目标：
1.掌握相似三角形的判定定理。
2.理解相似三角形判定定理的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题。
（二）学习重难点：
重点：运用相似三角形的判定定理解决简单的有关问题.
难点：相似三角形的判定定理的探索及证明过程.
阅读课本，识记知识：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【例1】已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案．
【详解】∵由图可知，，
∴，，
A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似；
B．选项中三角形各角的度数分别是，，不与相似；
C．选项中三角形各角的度数分别为，，不与相似；
D．选项中三角形各角的度数分别为，，与相似；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大．
【例2】 如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：，，
，
故①单独能够判定；
，，
，
故②单独能够判定；
由③不能判定，
，，
，
故④单独能够判定；
其中单独能够判定的条件有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
选择题
1.已知△ABC的三边长是,,2,与△ABC相似的三角形的三边长可能是 ( )
A.1,, B.1,, C.1,, D.1,,
2.若△ABC和△DEF满足下列条件,则能使△ABC与△DEF相似的是 ( )
A.AB=6,BC=6,AC=9,DE=4,EF=4,DF=6
B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=15
C.AB=1,BC=,AC=2,DE=,EF=,DF=
D.AB=1,BC=,AC=3,DE=,EF=2,DF=
3.如图，下列条件不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若=,则下列结论正确的是 ( )
A.△AOD∽△COB B.△ABD∽△ACD
C.△ABC∽△DBC D.△AOB∽△DOC
5.下列命题中不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．各有一个角等于的两个等腰三角形相似
D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
6．如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上，与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7.如图所示,AB、CD相交于点O,连接AC,BD,添加下列一个条件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是 ( )
A.∠A=∠D B.= C.∠B=∠C D.=
8.如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在中，点，点分别是上的点．下列选项中，不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段、交于点，下列条件中，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
11． 如图,在边长为1的正方形网格中有P、A、B、C 4个点,则图中所形成的三角形中, 和 是相似三角形.
12.如图，在中，点、分别是边、上的点，若要使，则需添加的条件是 ．（只填一个条件即可）
13．如图,BD平分∠ABC,且AB=2,BC=3,则当BD= 时,△ABD∽△DBC.
14．如图,△ABC中,AB=3 cm,BC=4 cm,AC=6 cm.动点P从点A出发,以每秒1 cm的速度沿AB向点B运动,同时动点Q从点B出发,以每秒1 cm的速度沿BC向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒),则t= 时,△PBQ与△ABC相似.
15．如图，在边长为的正方形中，点，分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
三、解答题
16．如图所示,网格中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
17.如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．
18.如图，在四边形中，，交于点E，点F在上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使，并给出证明．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】 A
【分析】∵△ABC的三边长是,,2,∴△ABC的三边长的比为∶2∶=1∶∶,∴与△ABC相似的三角形的三边长可能是1,,.故选A.
【答案】 A
【分析】A项,因为===,所以△ABC与△DEF相似,故A选项符合题意;B项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故B选项不符合题意;C项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故C选项不符合题意;D项,因为≠≠,所以△ABC与△DEF不相似,故D选项不符合题意.故选A.
3.D
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵，，
∴，故此选项不合题意；
B、∵，，
∴，故此选项不合题意；
C、∵，
∴，，
∴，故此选项不合题意；
D、不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】 A
【分析】∵=,∠AOD=∠BOC,∴△AOD∽△COB.故选A.
5．D
【分析】根据相似三角形判定定理进行判定即可．
【详解】解：A、斜边与一条直角边对应成相同比例的两个直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
B、两个等腰直角三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
C、各有一个角等于的两个等腰三角形相似一定成立，故本选项不符合题意；
D、两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是判断命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题真假关键是首先要熟悉课本中定理．
6．C
【分析】根据分别求出个三角形的三边长，再根据相似三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，，
A、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
B、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，则，则该三角形与相似，故本选项符合题意；
D、三边长分别为，则，则该三角形不与相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．【答案】 D
【分析】由题图可得,∠AOC=∠BOD,所以要使△AOC∽△DOB,只需再添加夹该等角的两边成比例或另一角相等即可,所以题中选项A、B、C均符合题意,而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC,BD与OD的夹角也不是∠BOD,所以其不能判定两个三角形相似.故选D.
8．D
【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9．D
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故A能判定；
∵，，
∴，
故B能判定；
∵，，
∴，
故C能判定；
∵，不是夹角，
∴不能判定与相似，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：A、由，能判定故本选项不符合题意．
B、由能判定，故本选项不符合题意．
C、由、能判定，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定和相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11.答案 △APB;△CPA
解析 由题意可得AP==,PB=1,PC=5,AB=,AC=,∴===,∴△APB∽△CPA.
12. （答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
当，
则，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．【答案】
【解析】 ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∴当=时,△ABD∽△DBC,∴=,∴BD=(舍负).
14．【答案】 或
【解析】 据题意得AP=t cm,PB=(3-t)cm,BQ=t cm(0≤t≤3),当PQ∥AC时,△BPQ∽△BAC,∴=,即=,解得t=;当∠BPQ=∠C时,△BPQ∽△BCA,∴=,即=,解得t=,∴当t=或时,△PBQ与△ABC相似.
15．①④/④①
【分析】证明，再利用全等三角形的性质结合余角性质得，①正确，利用勾股定理求，利用等面积法，求得可得②不正确，再证，求出，，，可断定，④正确，通过得到，则，可得③不正确．
【详解】四边形为正方形，，，
、为、中点，，
，
，，，，
， ①正确，
， ，
，故②错误，
为中点，，
，由，，
，，
，，故④正确，
，而，则，
，与不平行，③错误
故答案为：①④．
【点睛】本题考查三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的高，面积，直角三角形的斜边中线，知识较多有一定难度，解题时注意利用线段关系减计算相应的线段长．
16．【解析】 △ABC和△DEF相似.
理由如下:根据勾股定理,得AB=2,BC=5,AC=;DF=2,DE=4,EF=2,
∵===,
∴△ABC∽△DEF.
17.见解析
【分析】先根据等边对等角得到，进而得到，再由即可证明．
【详解】证明：，
，
，
， ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
18.
【分析】在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
【详解】解：添加条件．
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定的理解及运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
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