九年级数学上册 22.3 相似三角形的性质 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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22.3 相似三角形的性质 导学案
（一）学习目标：
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
2.掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及其在实际中的应用.
（二）学习重难点
重点：明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.
难点：相似三角形的性质定理解决简单的实际问题.
阅读课本，识记知识：
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
很容易推出：．
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
．
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ；
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边
【例1】如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（ ）

A．点G为的重心 B．
C．当为等边三角形时， D．
【答案】D
【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D．
【详解】解：A、∵的中线相交于点G，
∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意；
B、∵点G 为的重心，
∴，即，故选项B正确，不符合题意；
C、∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故选项C正确，不符合题意；
D、∵，
∴，则，
∴，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
【例2】 《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵规定为单位线段1，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键．
选择题
1.若两个相似三角形的面积之比为1∶9,则它们对应角的平分线之比为 (　　)
A.　　　B.3　　　C.　　　D.3
2.如图，在中，为上一点，连接，，且与相交于点，，则（ ）

A． B． C． D．
3.如图,在△ABC中,EF∥BC,=,四边形BCFE的面积为21,则△ABC的面积是 (　　)
A.　　　B.25　　　C.35　　　D.63
4.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（ ）

A． B． C． D．
5.如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB.过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E.若DE=1,则△ABC的面积为 (　　)
A.4　　　B.4　　　C.2　　　D.8
6.如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）

A．15 B．18 C．24 D．36
7．如图，，与相交于点，若，，，则OD的长是（ ）

A．3 B． C．2 D．
8.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5
10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点与坐标原点关于直线对称．将沿轴向右平移，当线段扫过的面积为20时，此时点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11． 已知△ABC∽△DEF,且面积比为1∶9,若△ABC的周长为8 cm,则△DEF的周长是　　　　cm.
12.如图，在中，是中线，G是重心，，交于D．若，则 ．

13．如图,已知每个小方格的边长均为1,则△ABC与△CDE的周长比为　　　　.
14．如图，在中，分别平分与，延长交于点D，连接，作，垂足为E，若，，，则的面积为 ．
15．如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．

三、解答题
16．如图，G为的重心，，求的值．

17.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC;
(2)若=,且S△DBE=2,求△ABC的面积.
18.如图所示，中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作于点，并作关于直线对称的，设点的运动时间为，与的重叠面积为．

(1)当点在边上时， ______（用含的代数式表示）．
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】　A　
【分析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9,∴它们对应角的平分线之比为1∶=1∶3=.故选A.
2.D
【分析】根据平行四边形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
∴，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】　B　
【分析】∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴===,∴S△AEF=S△ABC.∵S四边形BCFE=S△ABC-S△AEF=21,即S△ABC=21,∴S△ABC=25.故选B.
4.B
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线，
则，，
显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意；
选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意；
选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键．
【答案】　B　
【分析】∵AB⊥AD,DE⊥AD,
∴AB∥DE,
∴△CDE∽△CBA.
∴===,
∴S△CDE=S△CBA,∴S四边形ABDE=S△CBA.
∵S四边形ABDE=S△ABD+S△ADE=AB·AD+AD·DE=×2×2+×2×1=3,∴S△CBA=S四边形ABDE=×3=4.
故选B.
6．B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，

点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
7．B
【分析】根据可得，根据相似三角形的性质以及已知条件，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8．A
【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】解：在中，
，，，
A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意；
B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
9．C
【分析】求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
分两种情况：
①当时，
，，
∵D为的中点，
∴，E为的中点，，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
10．B
【分析】连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D，根据A(-2，0)、B(0，4)，OA=2，OB=4，进而得到AC=2，BC=4，再证Rt△DBC∽Rt△ECA，得到，设AE=x，则有CD=2x，OE=AO+AE=2+x，在Rt△ACE中，，即有，解方程求出x，即可求出AE，则C点坐标可求，再根据AB扫过的面积为20，求得，可知△ABC向右平移了5个单位，则问题得解．
【详解】平移后的效果如图，连接AA1、BB1，过C点作CE⊥x轴于E点，过B点作BD⊥CE，交EC的延长线于点D，
根据平移的性质可知AA1=BB1，且，
即有四边形是平行四边形．
∵CE⊥x轴，BD⊥CE，
∴∠D=∠CEA=90°，
根据对称的性质可知△AOB≌△ACB，
∴∠ACB=∠AOB=90°，AO=AC，OB=BC，
∵A(-2，0)、B(0，4)，
∴OA=2，OB=4，
∴AO=AC=2，OB=BC=4，
∵∠ACB=90°=∠D，
∴∠DCB+∠ACE=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∴Rt△DBC∽Rt△ECA，
∴，
设AE=x，则有CD=2x，
∴OE=AO+AE=2+x，
∵∠D=∠CEA=90°=∠AOB，
∴四边形OBDE是矩形，
∴BD=OE，即BD=2+x，
∵，
∴，
∴在Rt△ACE中，，
∴有，解得，（负值舍去），
∴，
∴，，
∴C点坐标为，
根据平移的性质可知直线AB扫过的图形为是平行四边形，
∴根据题意有，
∵，
∴，
∴，
∴可知△ABC向右平移了5个单位，
∴C也向右平移了5个单位才得到C1，
∴即，
∴C1点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，求出C点的坐标是解答本题的关键．
11.【答案】　24
【解析】　∵△ABC∽△DEF,且面积比为1∶9,∴△ABC与△DEF的相似比为1∶3,∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3,∵△ABC的周长为8 cm,∴△DEF的周长是3×8=24(cm).
12. 2
【分析】先求解，证明，可得，由三角形的重心的性质可得，再建立方程即可．
【详解】解：∵是中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心的性质是解本题的关键．
13．【答案】　2∶1
【解析】　由题图知AB∥DE,AB==2,DE==,∴△ABC∽△DEC,∴△ABC的周长∶△CDE的周长=AB∶DE=2∶=2∶1.
14．
【分析】过D点作交于点F，则，得到，可求出的长，利用角平分线得到，进而求出长，计算面积即可．
【详解】解：如图，过D点作交于点F，
∴,
∴,
∵
∴DF
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．
【分析】相似三角形两个角对应相等，且对应边成比例，据此解答．
【详解】解：由图知，点应位于线段的中垂线上，
所以要使，
所以只能是点，
其他点均不符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定，要注意联系实际图形进行判定．
16．24
【分析】G为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论．
【详解】解： 点为的重心，
，
∴
，
，
点为的重心，
点是边的中点，
；
点为的重心，
，
，
，
∴．
【点睛】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
17.【解析】　(1)证明:∵DE∥AC,
∴∠BED=∠C.
∵EF∥AB,
∴∠B=∠CEF,
∴△BDE∽△EFC.
(2)∵DE∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AF=DE.
∵=,
∴=,
∵DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴==,
∴S△ABC=9S△BDE=9×2=18.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由勾股定理得出，由题意得出，通过证明，得出，即，进行计算即可得到答案；
（2）由（1）知：，可得，即，，由题意得出，即可求得答案；
（3）分三种情况：当时，重叠部分为，且；当时，重叠部分为四边形，利用计算即可得到答案；当时，重叠部分为直角三角形，运用相似三角形的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：中，，，，
，
点从点出发，以的速度沿边向终点运动，
当点在边上时，，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：；
（2）解：当点与点重合时，如图①，
，
，
由（1）知：，
，即，
，
由题意知：当时，，
，
解得，
故当点与点重合时，的值为；
（3）解：当时，如图②，，
，
由（1）知：，，
，即，
，，
，
与关于直线对称，
，
；
当时，如图③，设交于，取的中点，作交于，连接，
，
则，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图④，过点作于，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，即，
综上所述，与的函数关系式为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用分类讨论思想解决问题．
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