九年级数学上册 22.5 综合与实践 测量与误差 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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22.5 综合与实践 测量与误差 导学案
（一）学习目标：
通过测量旗杆的高度的活动，并复习巩固相似三角形有关知识
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题
（二）学习重难点：
重点：利用三角形相似测量旗杆的高度
难点：三角形相似的知识解决实际问题
阅读课本，识记知识：
（一）利用影子测量物体的高度
1. 测量原理 测量建筑物、旗杆、大树等物体的高度，在有太阳光的前提下，通常利用参照物的高及其影长、被测物的高及其影长构造出相似三角形，运用“相似三角形对应边成比例”的原理解决问题.
2. 测量方法 在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和“在同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理计算出被测物体的高度.
特别提醒
运用此测量方法时，要符合下面两个条件：
1. 被测物体的底部能够到达；
2. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
（二）利用标杆测量物体的高度
1. 测量原理 利用标杆与被测物体平行建立相似三角形模型.
2. 测量方法
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的距离和距被测物体底端的距离；
(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出被测物体的高度.
特别提醒
利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，注意标杆与地面要垂直，同时被测物体的底部必须是可到达的.
（三）利用平面镜的反射原理测量物体的高度
1. 测量原理 利用平面镜的反射原理，先根据反射角等于入射角构造出相似三角形，再计算出被测物体的高度.
2. 测量方法
(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；
(2)测出观测者眼睛到地面的高度；
(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；
(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出被测物体的高度.
特别提醒
1. 测量时被测物体与人之间不能有障碍物， 且平面镜要水平放置.
2. 利用“反射角等于入射角” 及“ 等角的余角相等”的知识可以知道， 反射光线和入射光线与镜面的夹角相等. 这就找到了一对锐角对应相等， 有了相似的条件.
（四）利用相似测量宽度
1. 测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.
2. 常见的测量方式
(1)构造“A”型相似，如图22.5-6 所示.
(2)构造“X”型相似，如图22.5-7 所示.
利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：
1. 利用平行线、标杆等构造相似三角形；
2. 测量与表示被测物体的线段相对应的边的长度以及另外任意一组对应边的长度；
3. 画出示意图， 利用相似三角形的性质，列出比例式，求出未知量；
4. 检验并得出答案.
【例1】如图，身高的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，得出，即，求出结果即可．
【详解】解：根据题意可知，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明．
【例2】 两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（），光屏在距小孔处，小宇测得蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出图像，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度．
【详解】解：如图，设蜡烛的高度为线段，蜡烛的像为，于C，于，则，．

由题知，
，
，
，
，
解得，
即光屏上火焰所成像的高度为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题．熟练掌握这一性质是解题的关键．
选择题
1.如图，小树在路灯O的照射下形成投影． 若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离 ，则路灯的高度为（ ）

A．3m B．5m C．6m D．
2.泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的 (　　)
A.图形的平移　　　B.图形的旋转 C.图形的轴对称　　　D.图形的相似
3.一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为（　　 ）．

A． B． C． D．
5.如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2∶5,且三角板的一边长为8 cm,则投影的对应边长为 (　　)
A.20 cm　　　B.10 cm　　　C.8 cm　　　D.3.2 cm
6.《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（ ）

A． B． C． D．
7.如图,AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯,爬梯的底端B到墙角C的距离为1.6 m,爬梯上一点D到墙壁的距离DE为1.4 m,BD的长为0.5 m,则爬梯的长为 (　　)
A.3.5 m　　　B.4 m　　　C.4.5 m　　　D.5 m
8.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片上图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）

A． B． C． D．
9．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为（ ）

A． B． C． D．
10.有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12 cm,BC边上的高为9 cm,现要把它分割成若干个相邻两边长分别为4 cm和2 cm的小长方形零件,分割方式如图所示(分割线的耗料不计),使最底层的小长方形的长为4 cm的边在BC上,则按如图所示的方式分割成的小长方形零件最多有 (　　)
A.3个　　　B.4个　　　C.5个　　　D.6个
填空题
11． 明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在处坚立一根高的标杆，发现点、、在同一直线上．测得，，已知，点、、在同一直线上，于点，于点．则楼高为 m．

12.如图,某一时刻,一根2 m高的竹竿EF的影长GE为1.2 m,此时,小红测得一棵被风吹斜的树与地面成30°角,树顶端B在地面上的影子D与点C的距离是3.6 m,BC⊥AC,则树高AB为　　　　m.
13．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为 ．

14．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小艺的眼晴离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米．

15．教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵树实际高度为 m．

三、解答题
16．小红和小华决定利用所学数学知识测量出一棵大树的高度如图，小红在点处，测得大树顶端的仰角的度数；小华竖立一根标杆并沿方向平移标杆，当恰好平移到点时，发现从标杆顶端处到点的视线与标杆所夹的角与相等，此时地面上的点与标杆顶端、大树顶端在一条直线上，测得米，标杆米，米，已知、、、在一条直线上，，，请你根据测量结果求出这棵大树的高度．

17.如图,建筑物BC上有一根旗杆AB,小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度,测量方法如下:在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上,同时地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B也恰好在一条直线上,已知旗杆AB=3米,FD=4米,DE=5米,EG=1.5米,点A、B、C在一条直线上,点C、D、E、G在一条直线上,AC、FD均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高BC.
18.如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．

（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】B
【分析】先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：，，
，
由题意得：，
，
，而，
，即，
解得，
答：路灯的高度为．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【答案】　D　
【分析】测量原理是我们所学的图形的相似.故选D.
3.C
【分析】如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则，，，由等腰三角形三线合一，得，；可证，于是，求得．
【详解】解：如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则，
∴
由题知，，
∴，
　即上水面所在圆的半径长为线段长
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三角形，寻求线段之间的数量关系是解题的关键．
4．C
【分析】根据，可得，可得，进而得出即可．
【详解】解：如图，，则，
∴，
，即，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
【答案】　A　
【分析】设投影的对应边长为x cm,∵三角板与投影相似,∴8∶x=2∶5,解得x=20.故选A.
6．B
【分析】据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长．
【详解】解：如图过O作直线，交于F，

依题意，
∴，
∴，
由可以得，
∵分别是它们的高，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
7.【答案】　B　
【分析】易知DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,设爬梯的长为x m,则=,解得x=4.∴爬梯的长为4 m.故选B.
8．C
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】如图所示：∵，
∴，
∴，
设屏幕上的图形高是，则，
解得：．经检验，是原方程的解，
故选C．

【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．C
【分析】利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，

设所成的像的高度为
由题意可得：，
解得：，
∴所成的像的高度为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，理清题意，正确得出比例关系是解题关键．
【答案】　B　
【分析】如图,由题意设最上层的小长方形的一边恰好与AB、AC相交,交点分别为E、F.延长MT,交AC于N.作AD⊥BC,交BC于D,交EF于点G,由题意知,AD是△ABC的高,AG是△AEF的高,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=,∵BC=12 cm,AD=9 cm,EF=4 cm,∴=,∴AG=3 cm,∴GD=6 cm.∵小长方形的宽为2 cm,∴能分割三层.设从下面数第一层小长方形的另一条长边在MN上,易得=,解得MN=9,∴最底层能分割出两个小长方形.同理可得从下面数第二层能分割出1个小长方形,从下面数第三层能分割出1个小长方形,共能分割出4个小长方形.故选B.
11.
【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12. 【答案】　12
【解析】　由题意知CD=3.6 m,△BDC∽△FGE,∴=,即=,∴BC=6 m.在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=12 m,即树高AB为12 m.
13．5
【分析】根据，通过证明，根据相似三角形的相似比即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵边上的高等于，边上的高等于，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
14．
【分析】根据镜面反射的性质，，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
即
∴，经检验，是原方程的解，
故答案为：8
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
15．3.6/
【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．
【详解】解：同一时刻物高与影长成比例，
，
即：，
解得落在地上的影长对应的树的高度，
树的高度为：，
故答案为：3.6．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．
16．这棵大树的高度为米
【分析】根据题意得：，，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
这棵大树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．相似三角形的对应边成比例．
17.【解析】　由题意可得,∠ACE=∠EDF=90°,∠AEC=∠FED,
∴△ACE∽△FDE,
∴=,
即=,
∴CD=.
由题意可得,∠BCG=∠FDG=90°,∠BGC=∠FGD,
∴△BCG∽△FDG,
∴=,
即=,
∴6.5BC=4(CD+6.5),
∴6.5BC=4×+4×6.5,
∴BC=14米,
∴这座建筑物的高BC为14米.
18．
【分析】根据相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】证明：，
故，即，
，
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
灯泡到地面的高度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，由相似得到对应线段成比例是解题的关键．
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